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1 引言小学数学应用题是以现实世界中的事件与关系为题材，用自然语言陈述，以执行数学运算为主的问题。当解决应用题时，学生需要在不同的标志代码间进行转换，将普通语言描述的日常事件转换成数学的概念系统，使其语义和句法变成数学的推理结构，然后才可以进行数学意义上的正规运算 。数学问题理解的两个主要过程: 问题理解和问题执行。虽然学生们问题理解阶段存在很大的困难，但是许多数学教学都集中于问题执行，而忽略问题理解，这也是造成一些人之所以在理解关系句上存在困难的原因。表征有助于学生对数学概念和关系的理解，有助于建立相关数学概念之间的关系，将数学应用到真实问题情境之中。所以近年来，教育学家们开始越来越重视对于这方面问题的研究 。本文将就数学问题表征中研究方法、表征理论和差异比较等问题进行介绍，并对未来研究进行了展望。
2 数学问题表征的研究方法 2． 1 口语报告法在表征研究中通常在被试问题解决之后马上进行个别访谈，以考察被试在问题解决过程中的认知加工过程。如 Garderen( 2003) 等人从六年级中选取学习不良儿童、学业中等儿童和学业优秀儿童，让他们完成一套数学测验，并评价其视空间表征的使用情况。视空间表征分为图式表征和图片表征。图式表征指对问题中的空间关系进行编码; 图片表征指对问题中的人物、地点和事件进行编码。实验中，主试向被试提问以确定被试主要使用了何种策略。将每个题目印在一张卡片上，向学生呈现。然后，询问并记录学生他们是如何解决问题的，是否使用了视 － 空间表征。以下为提问的问题: 1) 你是如何得出答案的? ( 如果学生没有作出来，就问“你刚才是怎样试图解决问题的?”) 2) 当你解决问题时，你在头脑中看到一幅图画了吗? ( 如果答案为肯定的，则继续回答后面两个问题; 否则，停止提问) 3) 请描述一下你头脑中的图画; 4) 问题图画是如何帮助你解决问题的? 如果被试在描述他们的策略时使用画图表、手势来表示问题中事物的空间关系和动态转换，或者口头报告出这种关系和转换，则计为图式表征策略; 如果被试报告说在脑中出现问题中人或物的具体形象而不是他们之间的关系，则计为图像表征策略。结果显示，学业优秀儿童更多使用图式表征，学业不良儿童更多使用图片表征; 问题解决成功与图式表征的使用呈正相关，与图片表征的使用呈负相关。
2． 2 临床观察法一些研究者通过观察儿童在问题解决过程中的表现，以确定他们对问题的表征情况。实验者通常将问题读给儿童听，确保儿童理解题目之后，由儿童解决问题，允许使用积木或数手指以帮助计算。实验者对儿童的解题过程或操作行为尽可能作仔细观察与记录。如在研究中，在听完主试念的合并题之后，儿童左手伸出 3 个手指，右手伸出 5 个手指，逐一点数手指 1、2……8，回答说“一共是 8 个。”儿童是利用手指构建两个数集之后，把这两个集合在一起。由此可见，儿童是使用手指策略来表征应用题的。
2． 3 眼动实验解答数学应用题需要阅读文本信息，扫描过程中的眼动模式在一定程度上可以反映出心理加工过程，所以一些研究者通过眼动记录技术揭示数学言语加工特点。在 Hegarty 等人( 1995) 的研究中，他们在考查学生阅读应用题的情况中发现学困生对题目中的数字和关键词回看的次数最多，而学优生对题目中的变量名回看的次数最多。结果表明，学优生倾向使用问题模型策略，学困生倾向使用直接转换策略。
3 数学问题表征的理论 Presmeg 的表征理论 Presmeg( 1986) 等人指出，可以根据个体在解决数学问题时对使用视觉表象或图表的喜好程度将他们置于一个连续体中。据此，Suwarsono 编制出一种测量个体视觉表象水平的工具———MPI( the Mathematical Processing Instrument) 。然而，采用这个工具的后继研究却发现视觉表象并不一定促进数学问题的解决，有时甚至起妨碍作用。基于这些研究，Presmeg 总结出中学生在解决数学时常用的五类表象: 1) 具体图形表象( 在脑中出现图形) ; 2) 模式表象( 以视觉—空间格式勾勒出纯粹的关系) ; 3) 动觉表象( 包括手的运动和其他的手势) ; 4) 动态表象( 包括对几何图形的动态转换) ; 5) 记忆表象( 将数学公式以视觉化的方式提取出来，进行问题解决) 。Presmeg 研究发现，对问题关系能够进行很好理解的问题解决者倾向使用模式表象和动态表象，而对问题关系不能很好理解的问题解决者倾向使用具体表象和记忆表象。
