鉴于大家对免费资料十分关注，我们编辑小组在此为大家搜集整理了“ 也谈0是自然数引发的几个问题 ”一文，供大家参考学习!
一、关于自然数的理论大家都知道,自然数有两种重要的作用,一是用来计数,一是用来排序,由此抽象出了两种关于自然数的理论:自然数的基数理论与自然数的序数理论。在自然数的基数理论中,把一切等价(等势或等浓度)集合的共同象征叫做基数(或势),而把每一个有限集合的基数就定义为自然数。很明显,在这里,0是自然数。但是,对自然数也有另一种定义:“自然数是一类等价的非空集合的标记,它表示非空有限集合元素的个数。”在这里,0又不是自然数了。由此可见,就基数理论而言,0是否是自然数在我国一直是有争议的。自然数的序数理论是由意大利数学家皮亚诺所建立,1889年皮亚诺提出了著名的皮亚诺公理:I.1是一个自然数。II.在自然数集合中每个数a有一个确定的后继数a+。III.a+≠1,就是说没有数以1作为后继数。IV.由a+=b+推出a=b,就是说,对于每一个数,没有或恰有一个数以它作为后继。V.“完全归纳原理”:如果自然数的一个集合包含数1,并且对于每一个属于它的数a都包含a的后继数a+,它就包含全体自然数。在这里,0显然不是自然数。然而,皮亚诺在研究数列问题时,同许多其他数学家一样,也把起始项记为a0,因此皮亚诺在1894年出版的《数学论集》的续集中对他提出的五个公理作了修改,用0替代了1,皮亚诺公理就有了第二个版本。这样,0又成了自然数。本文所属栏目http://myeducs.cn/xxsxlw/
在东西方文化中,排序多数是从1开始的,比如,在西方文化中,公元纪年是从公元1年开始的,在我们中国,认为“数始于一”。在中文与英文中,都有“第一”这个词,而没有“第零”一词。因此对于皮亚诺公理的两个版本,提及的多是第一个版本,而很少提及后者。当然,也有例外,新的一天始于0点,就是说,排序也有从0开始的。在1994年以前,我国的中小学教材中,都规定0不是自然数。随着计算机科学的发展,编码从0开始能够使计算机程序得以简化并减少出现错误的概率,各国纷纷颁布国家标准,把0规定为自然数。例如德国在1976年6月颁布的德国国家标准DIN5473中就规定自然数集N包含数0。1993年我国颁布的《中华人民共和国国家标准》(GB 3100-3102—93《)量和单位》(11-2.9)第311页,规定自然数包括0。随后中小学数学教材的编写人员根据上述国家标准对中小学数学教材进行了修订:0是一个自然数。这样,在自然数的基数理论中,每一个有限集合的基数就定义为自然数;而在自然数的序数理论中,自然数的概念根据皮亚诺公理的第二个版本来确定。
二、如何对待0这个自然数0成为自然数以后,N={0,1,2,3…},原来的自然数集{1,2,3…)就成了非0自然数集。0成为自然数并不意味着0具有非0自然数的一切属性,比如,非0自然数都可以作除数,但0不能作除数;大于1的自然数都可以分解质因数,但0不能分解质因数。而过去所论及的自然数的位数、自然数的计数单位、自然数的互质等一系列概念都是在非零自然数的范围内定义的,过去关于自然数的结论只要在“自然数”前面加上“非0”两个字就可以了。在高等数学中,0多项式不规定次数,0向量不规定方向。在小学数学中,原来没有规定0的计数单位、0的位数,也没有讨论0与1的互质问题,现在也可以不规定、不讨论。因为对于前者讨论的必要性不大,对于后者,虽然可以讨论,但也没有太大的用处。虽然在约分、整除、同余等问题中常用到互质的概念,但由于0不能作除数,秦治国先生文中的结论“0和1是互质数”的作用极其有限。关于自然数的分类全体自然数构成自然数集,自然数的分类就是一个集合的分类,北京师范大学的张禾瑞教授在他所著的《近世代数基础》一书中给出了集合分类的概念:若把一个集合A分成若干个叫做类的子集,使得A的每一个元属于且只属于一个类,那么这些类的全体叫做集合A的一个分类。（本论文由网学http://myeducs.cn 整理提供，如需转载，请注明出处或联系我们的客服人员）
