Shor算法的量子物理基础

2．态叠加原理

在初步弄清了量子力学中态的概念之后，我们来讨论态叠加原理，它是量子态的不同表象的理论基础。

在经典力学中，当谈到一个波由若干子波叠加而成时，只不过表明这个合成的波含有各种成分（具有不同波长、频率、相合等）的子波而已。

在量子力学中，我们知道波函数是用来描述一个微观体系的量子态，而态叠加原理就是“波的相干叠加性”与“波函数完全描述一个微观体系的状态”两个概念的概括。

例如，考虑一个用波包Ψ(r)描述的量子态，它由许多平面波叠加而成[如式7所示]，其中每一个平面波[~exp[ip·r/ħ]]描述的粒子，测量其动量时，实验表明，可能出现各种可能的结果，也许出现P₁，也许出现P₂，…（凡是波包中含有的那些平面波所相应的P值，均可出现，出现的相对概率是确定的）。我们应怎样来理解这样的测量结果呢？这只能认为原来那个波包所描述的量子态就是粒子的许多动量本征态的某种线性叠加，粒子部分地处于P₁态，部分地处于P₂态，…。这从经典物理概念来看，是很难理解的，但只有这样看法，才能理解为什么测量动量时有时出现P₁，有时又出现P₂，…。

更简单和更一般地说，没体系处于Ψ₁描述的状态下，测量某力学量A所得结果是一个确切的值a₁（Ψ₁称为A的本征态，a₁为相应的本征值）。又假设在Ψ₂描述的状态下，测量A的结果为另外一个确切的值a₂，则在

           Ψ=C₁Ψ₁+ C₂Ψ₂        （C₁，C₂常数）

所描述的状态下，测量A所得结果，既可能为a₁，也可能为a₂（但不会是另外的值），而测得为a₁或a₂的相对概率是完全确定的。我们称Ψ态是Ψ₁态与Ψ₂态的线性叠加态。在叠加态中Ψ₁与Ψ₂有确切的相对权重和相对相位。量子力学中这种态的叠加，导致在叠加态下观测结果的不确定，在量子力学中，态叠加原理是与测量密切在一起的一个基本原理，与经典波的叠加的物理含义有本质不同，它是由微观粒子的波动-粒子两象性决定的。

下面作一个总结性概括，如果Ψ₁，Ψ₂，…，Ψ_n是体系可能的状态，则它们的线形叠加所得出的波函数

也是体系的一个可能状态；当体系处于Ψ态时，出现Ψ₁的几率是 ，出现Ψ₂的几率是 , … …余类推。在式8中，n可以是无限的。这个原理称为态叠加原理。

 

（二）幺正变换

和一个矢量可在不同坐标系中表示相似，同一个量子态或者同一个算符也可在不同表象中表示。在高等数学中，这些不同的表示可通过坐标变换把它们联系起来。在量子力学中，这些态或算符的不同表示也可以用表象变换把它们联系起来。而且，物理规律应当具有协变性；即物理规律与所选择的用以描述它们的坐标无关，因为本征值就是在相应的本征态中观测该算符所对应的力学量时的观测值是实验测量所得到的值。乍一看来，本征值似乎应与表象有关，因为选用不同表象时，本征值方程式的矩阵元F_mn不同，从而导致方程组式的根也不同，实际上并非如此。事实上在表象变换中，算符的本征值不变。我们将看到，和在高等数学中选用适当的坐标系可大大简化计算过程相似，在量子力学中，选用适当表象，或通过表象变换变到适当的表象，可使计算过程大大简化，甚至直接得出所要求的结果。