常用分布的抽样方法及其计算机实现

5　　蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法是由数学、概率统计和计算技术交叉结合形成的计算方法，在此基础上逐渐形成了一套成熟有效的研究和应用体系。任何一个体系一旦形成并相对成熟，它的体系基础就会由于完整而失去进一步发展的内在动力，而与体系的外部发展、与对体系的需求发展相脱节。基于这样的考虑，我们需要适时地重新审视和不断地发展蒙特卡罗方法的体系基础，及时吸收最新思想和最新成果，以适应对蒙特卡罗方法的需求。蒙特卡罗方法研究面临的两个问题是随机数的产生和概率分布的随机抽样方法。王仲奇，宋玉琳，肖刚等 在《蒙特卡罗方法的两个基本问题》一文中谈到了这方面的问题，他们对此进行了进一步的探索，以适应实际生活中对蒙特卡罗方法的需要。

在蒙特卡罗方法中，随机数产生方法的优劣将直接影响蒙特卡罗模拟研究的成败。从原理上看，我们在蒙特卡罗方法中所需要的随机数应该是一个完全没有记忆、完全不可压缩的、在(0,1)中各处几率相同的数的无穷数列。然而，这样的数列在产生、保存和使用上存在许多问题，我们必须降低对随机数的要求，尤其是在几十年前蒙特卡罗方法产生的初期。由于蒙特卡罗方法所需要的随机数的数目是非常巨大的，这就带来一系列的问题，如产生成本、保存随机数(表)对存在介质的需求等。这些问题在60年前是非常严重的本质性问题，是蒙特卡罗方法可行性的问题。为了解决这一系列问题，人们提出了伪随机数的概念，回避了上述问题，使蒙特卡罗方法得以发挥巨大作用。伪随机数(列)是利用确定的递推公式得到的、在一定程度上体现随机性的数列。由于伪随机数与我们希望的随机数之间存在本质的区别，引人伪随机数会给蒙特卡罗方法带来一系列的问题，如均匀性、独立性和周期性等经典问题川。随着对并行计算要求的扩展，伪随机数的并行问题日益突出。上述问题从总体上讲是数学问题。而Landau给出的是从物理上对伪随机数的批判，“好”的随机数产生差的物理结果。这迫使人们又回到60年几乎同样的水平来看待蒙特卡罗方法的可行性问题，所不同的是与60年前相比，可以依赖的技术发生了巨大的变化，人们的处境变得不那么尴尬了。随着技术的发展，有了更多有效且廉价的产生随机数的方法，有了非常廉价的计算机存储介质。这使得人们有可能在一个高的技术起点上更好地解决60年前的问题，从而在原理上彻底解决困扰人们60年之久的伪随机数的均匀性、独立性和周期性的问题。解决了日益突出的可并行问题，最重要的是解决了计算的可靠性问题。而需要做的是购买更大的存储空间和下载随机数。

在蒙特卡罗方法中，随机抽样是在计算机上构造研究对象的随机性质的关键技术，而随机抽样方法是实现蒙特卡罗方法的核心问题。与随机数的产生问题一样，人们需要回到60年前。不是任意一个概率分布都有确定的抽样方法，不是所有确定的抽样方法都便于使用。挑选法非常好地解决了上述了抽样所需计算机时间和增加对随机数的耗费)、增加了抽样的时间不确定性(这严重影响随机抽样的并行化，而根本上影响了蒙特卡罗的并行化)和抽样方法严重地依赖于具体分布(严重影响了蒙特卡罗程序的智能化和傻瓜化)。随着关于随机数产生和任意分布抽样的新的解决方法和技术途径的给出，它们不仅可以作为目前常规方法的补充，而且对于一些蒙特卡罗方法长期未解决的重要问题，它们也是一条很好的解决途径。我们从目前的研究中已经看到它们很好的应用前景。

　　5.1　　统计模拟

在解决实际问题中，我们常常面临的是没有一个好的统计方法。统计模拟就是统计学中的试验,是解决统计实用问题和统计研究的不可缺少的工具。尤其是当没有合适的统计方法时,模拟就是解决实际问题的有效方法,已成为统计学新的研究领域。杨振海，程维虎在 《统计模拟》中有谈到这些方面的情况。

众所周知,在统计假设检验中,关键问题是要知道在原假设成立的前提下检验统计量的分布,至少也要知道分布的某些分位点。有的统计量的分布函数或密度函数是可以求出来的,如大家所熟悉的t统计量, 统计量是典型的例子。但有时统计量的分布函数或密度函数求不出来,这时可用模拟方法求出统计量的分位点,其精度可满足实际需要。大样本问题是研究当样本大小n趋于无穷时统计量的极限分布是什么,很多情形下极限分布是正态分布,这时转化为求数学期望和方差(常称渐近期望和渐近方差)。理论学者只关心统计量的极限分布,而统计应用学者更关心样本大小多大时统计量的准确分布和极限分布的差别可忽略不计,即极限分布可作为准确分布的近似,用于统计推断。在60-70年代,计算技术尚未充分发展的年代,常用下面一例说明理论研究和实际应用之间的矛盾。

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