基于小波变换与人类视觉系统的水印系统的设计

3.3 小波变换

由于在各种图像处理过程中，有损压缩对数字水印的生存打击较大，故数字水印在嵌入和提取过程中必须利用各种有损压缩的特点来寻求最大的鲁棒性。离散余弦变换是从图像空间到频率空间的全局变换而离散小波变换是一种局部的变换。由于离散余弦变换的全局本质，在变换空间中任何一个数据的误差都会影响到图像中的每一个像素，为限制离散余弦变换的全局影响，JPEG压缩标准把图像分成一系列8x8的小块。但是，这样一来在进行压缩时就不可避免地出现块效应。此外，离散小波变换的另一个特点是它具有多尺度分析的能力。因此，当前最新的图像压缩标准——JPEG2000和视频的MPEG7压缩标准都采用小波变换。基于压缩标准模型的数字水印算法可以很好地解决与这些标准的兼容问题，增强抵抗有损压缩攻击的能力。利用小波变换把原始图像分解成多频段的图像，能适应人眼的视觉特性且使得水印的嵌入和检测可分多个层次进行，小波变换域数字水印方法兼具时空域方法和DCT变换域方法的优点。因此，基于离散小波变换的数字水印算法已经成为当前研究的热点和最重要的研究方向^[10-11]。

从图像处理的角度看，小波变换具有以下几个优点：

(1) 可以覆盖整个频域(提供一个数学上完备的描述)。

(2) 小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大地减小或去除所提取的不同特征之间的相关性。

(3) 小波变换具有“变焦”(zooming)特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率（宽分析窗口)，在高频段可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口)。

(4) 小波变换实现上有快速算法(即Mallat小波分解算法)。

(5) 具有多分辨率(multi-resolution) ，也叫多尺度(multi-scale)的特点，可以由粗到精的逐步观察信号等。

定义1 设Ψ(t)∈L­­²(R)∩L­­¹ (R)，其傅立叶变换为Ψ(w)，若满足                          （3.1）

则称Ψ(t) 为一个基本小波或母小波，此公式称为小波函数的可容许性条件。

定义2

        （3.2）

定义3 设Ψ(t)为母小波，f(t)∈L­­²(R) 定义它的小波变换为

（3.3）

对应的重构公式(逆小波变换)为      （3.4）

    在实际应用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化.因此，有必要讨论连续小波Ψ_{s, b}(t)和连续小波变换(Wf)(s,b)的离散化。这里的离散化是针对连续的尺度参数s和连续的平移参数b的，而不是针对时间变量t的。

    为方便起见，在离散化中，总限制s只取正值，这样小波函数的可容许性条件变为                    （3.5）

通常，把连续小波变换中尺度参数s和平移参数b的离散化公式分别取作 ，这里j∈z。扩展步长s₀≠1是固定值，为方便起见，总是假定s_o〉1。所以对应的离散小波函数Φ_j,k(t )可写作     （3.6）

而离散化小波系数则可表示为

                    （3.7）

其重构公式

                            （3.8）

其中C是一个与信号无关的常数。