数学开放题的教学探讨

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1993年全国高考数学科命题组就指出：“要考查一些开放问题”，国家教委将“数学开放题”列为九五重点科研项目．相对于传统的封闭题严密完整，开放题在构成问题的要素——条件、策略、结论中有一些是不明确的（分别称为条件开放题、策略开放题、结论开放题）．当前数学开放题之所以引起我们中学数学教师的关注，我以为一是以实践能力、创新意识的培养为核心的素质教育的深入的需要．数学开放题对培养学生思维的发散性（结论开放）、聚敛性(条件开放)、创造性（策略开放），不失为好载体．二是高考命题的导向作用，数学开放题走进高考试卷的需要．三是数学走向应用的需要．我们的数学教育不仅要让学生学会继续深造所必需的数学基本知识，基本方法，基本技能，更重要的是让学生学会用数学的眼光看待世界，用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决现实生活中的问题．

为了满足上述三方面的需要，必需将开放题引进课堂教学．本文谈对数学开放题教学的一些认识，不当之处，谨请多多指教．

１、砸破篱笆，让学生展开想象的翅膀

青少年时代是一生中最富有活力、充满想象的时代．开放题往往形式活泼，供学生思考的角度众多，思维活动的空间宽阔，正好给青少年学生提供了一个展翅的舞台．而封闭题往往形式单一，要求学生在特定的范围内进行定向思维．长期作这类机械式的思维训练，学生的思维中将立起一道道难以逾越的篱笆．这样的教学活动，不仅没有促进学生进一步开放自己，反而束缚了他们的思想．通过开放式教学，可以让学生砸破这些禁锢思想的篱笆，展开想象的翅膀，自由地发挥自身才华．

根据我校搬迁前曾有一块操场需要改造这一实际，我们编拟：

开放题１ 我校准备在长120米，宽100米的空地上建造操场，请同学们设计操场形状，思考能否造出满足以下条件的环形操场．

①每道跑道宽1.22米；②跑道用直线或圆弧吻接；③跑道共八道且内圈为 300米．

本题有学生认为不能造出满足要求的操场，他认为操场应由两个半圆和一个矩形构成（如图１），经计算，跑道内圈无论如何达不到300米的要求．也有学生认为能造出满足要求的操场，可将操场设计成如图２，由四个四分之一圆弧及五个矩形构成．还有学生将操场设计成如图３，弯道部分由三段圆弧组成，他们认为这样才是操场．更有学生将操场设计成花园式（如图４），跑道全部由圆弧组成，他们认为这样的操场更美．

开放题2 用一块长2米，宽1.6米的玻璃加工出椭圆形镜子（镜面为完整的一体）．①要使镜面面积最大，该如何设计加工镜子(注S_椭= )．

本题主要考察学生如何画出椭圆，培养学生的动手能力．可以用硬纸板代替玻璃，让学生亲手画一画，动手截一下．学生至少可从以下几个角度去思考:①建立坐标系，写出方程描点；②确定焦点，长轴长，由第一定义得到；③用解析几何课本P116椭圆参数方程的定义；④用椭圆规工作原理(P124)．

2、传授定式，帮学生克服畏惧的心理

开放题引入课堂教学之初，学生的表现往往士为一是觉得好奇，感到有趣；二是感到畏惧，不知从何处入手．这就要求我们教师介绍一些典型开放题的求解思路，帮学生建立科学的思维定式．

⑴寻找充分条件型开放题．

开放题3　在直四棱柱中（如图５），当底面四边形ABCD满足条件时，有（填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形1998高考卷第18题）．

这类题型，只需找到能使结论成立的一个充分条件即可，而不必去寻找结论成立的充要条件．这类问题的要求并不高，可考虑特殊值或极端情形，从而找出充分条件．这一点，学生一开始往往不习惯．

⑵“是否存在”型开放题．

开放题4 设{ }是由正数组成的等比数列, 是其前n项和.是否存在常数Ｃ>0,使得成立？并证明你的结论（1995高考卷第25题）．

这类开放题的答案，不是肯定就是否定，开放度较小．若“存在”，就是具有适合条件的某种数学对象，无论用什么方法，只要找出一个就说明存在．若“不存在”，一般需要有严格的推理论证．故这类“是否存在”型开放题的解决思路一般为，先假设存在满足条件的数学对象，如果找出矛盾，说明假设不成立，进而否定假设，如果经过严格推理，没有找到矛盾，说明确实存在，找出满足条件的一个对象即可．

⑶猜想型开放题．

开放题5 已知数列{b_n}是等差数列,b₁＋b₂＋……＋b_ｎ＝145， b₁=1．①求数列{b_n}的通项b_n；②设数列{a_n}的通项a_n=其中a＞0且a≠1），s_n是数列{a_n}的前n项和，试比较s_n与的大小(1998高考理科第25题)．

解答这类开放题，要求学生学会猜想．牛顿早就说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现．”美国数学教育家彼利亚在1953年也大声疾呼：“让我们教猜测吧！”可我们在日常教学中，往往过分强调数学学科的严谨性和科学性，忽视实验猜想等合情推理能力的培养，让学生觉得数学枯燥、无趣、难学．

我们应该教会学生如何猜想．教学生通过实验、观察，进行猜想，教学生通过对特例（特殊值）的分析、归纳, 猜想一般的规律（共性），教学生通过比较、概括得到猜想，教学生对具体问题的特殊解从宏观上作出估算．先有猜想，再作严密的数学证明．这样“既教猜想，又教证明”，让学生体会到数学也是生动活泼，充满激情，并富有哲理的一门学科．不至于学生说“过了几十年，还做学习数学的恶梦”（徐利治语，见文５）．

３、开展实验，用计算机辅助开放式教学

利用计算机强大的计算功能和作图功能辅助开放式教学，有利于改善课堂气氛，激发学生的学习兴趣；有利于“观察（实验）、猜想、证明（否定）”这一思想方法的运用，快捷方便地验证学生自己作出的猜想，从而充分利用课堂活动的时间．

开放题6 （荒岛寻宝）从前，有个年轻人在曾祖父的遗物中发现一张破羊皮纸，上面指明了一项宝藏，内容是这样的：

“在北纬＊＊，西经＊＊，有一座荒岛，岛的北岸有一片草地，草地上有一棵橡树，一棵松树和一座绞架．从绞架走到橡树，并记住所走的步数，到了橡树向左拐一个直角，再走相同的步数并在那里打个桩．然后回到绞架再朝松树走去，同时记住所走的步数，到了松树向右拐一个直角，再走相同的步数并在那里也打个桩，在两桩连线的正中挖掘，就可获得宝藏．”

年轻人欣喜万分，租船来到海岛上，找到了那片草地，也找到了橡树和松树，但绞架却不见了．长期的日晒雨淋，一切痕迹也不复存在．年轻人无从下手，只好空手而返．同学们，你能用数学方法帮助这位年轻人吗？

本题，学生往往不知从何处入手．如果我们利用数学教学软件几何画板制作图６（设Ａ，Ｂ两点为橡树和松树所在地，假设Ｃ为绞架所在地．依题意找到打桩处Ｄ，Ｅ）．不妨先让我们做一个小实验．拖动点C，我们将会发现，无论C在何处，DE中点H是不动的．我们问：这说明什么？宝藏是否就在中点Ｈ处？

这样，学生将会积极地思索，不难从解析几何，复数、向量、平面几何角度寻求具体的解决方法．

学习“过抛物线的顶点Ｏ作二条互相垂直的弦OA,OB( ∠AOB = 9０°)则弦AB 恒过定点(2P ，O ) ”之后,引导学生探讨：