小波变换及在图像压缩中的应用
摘 要
小波分析是上个世纪八十年代初发展起来的新兴数学分支，它无论是对数学，还是对其他应用学科都产生了深远的影响。小波分析的出现，是不同学科、不同领域的交流与交叉学科发展的结晶。图像压缩是小波分析中十分重要的一个应用，目前小波分析在图像压缩中的应用已经十分广泛。本文所作的主要工作具体如下：
⑴ 在第二章中主要讨论了有关连续小波变换的几种不同定义，分析其联系，然后举了一些常用的连续小波例子，并通过定义验证了Haar和Mexican帽为基小波；给出了一种基于卷积的基小波的构造方法，并证明之；证明了尺度函数和多分辨分析(MRA)产生的半正交小波是基小波。详细的介绍了双正交多分辨分析；研究了图形显示算法，推导了二维情形的图形显示算法，并实现了一维情形的图形显示算法。
⑵ 在第三章中探讨了在图像压缩中小波滤波器选取的原则；研究了矩阵法构造小波滤波器的方法，对其前提条件进行总结，研究了如何确定滤波器长度与消失矩的阶数，以此构造出几种小波；对各种滤波器进行小波编码的仿真实验，实验表明新小波的性能很好。
⑶ 在第四章中讨论了有关图像压缩的一些问题，讨论了JPEG、WSQ、EZW等算法；最后采用小波分解与矢量量化结合的压缩方法，在分裂法产生初始码书的过程中充分考虑小波分解的特性，采用合适的参数进行分裂，并在编码搜索码字的时候考虑人眼对低频部分敏感而对高频部分不敏感，从而对误差采取加权的形式，这样在一定程度上可以保证重要的低频部分误差得到控制。
关键词：容许小波；连续小波变换；小波滤波器；小波编码；图像压缩。
Abstract
Wavelet analysis is a new branch of mathematics developed from earlier 1980s, it has far-reaching influence not only on mathematics but many other application fields. The emergence of wavelet analysis is the result of a multidisciplinary effort that brought together many intersect fields. Image compression is an important application of wavelet analysis, now the application of wavelet analysis on image compression is very popular. The main work is as follows:
⑴ In chapter 2, the author discusses several definitions of CWT, tells the difference and relation between them, then gives some common example, and prove Haar and Mexihat to be basic wavelet. One method for constructing basic wavelet based on convolution is put forward, and is proved; the paper proves that wavelet produced by scaling function and MRA is basic wavelet. Detailed knowledge of biorthogonal multiresolution analysis is introduced; and studies Interpolation graphical display algorithm(IDGA), derived the 2-deminision case of IDGA, and then give an implemented example of IDGA.
⑵ In chapter 3, principia for choosing wavelet filter in image compression is discussed; the paper studies the matrix method of constructing wavelet filters, summarize some precondition, make how to confirm the length and vanish moments of filters, and construct some new filters with it; at last experiments for wavelet coding is done using kinds of filters, and the result show that the new wavelet filters have good performance.
⑶ In chapter 4, some issue of image compression as well as JPEG, WSQ, EZW are discussed; and then the author use the wavelet decomposition and vector quantization for image coding, considering characteristic of wavelet decomposition, use an appropriate parameter to split when producing initial codebook. When searching codeword we use weighted error to control the error of low frequency part for human eyes are sensitive to the low frequency part and not sensitive to high frequency part.
Keywords: admissible wavelet; continuous wavelet transform; wavelet filters; wavelet coding; image compression
目 录
摘 要...................................................................................................................................... I
Abstract.................................................................................................................................. II
目 录................................................................................................................................... III
第一章 绪 论........................................................................................................................... 1
§1.1引言........................................................................................................................ 1
§1.2图像压缩................................................................................................................. 1
§1.3小波变换编码的优越性............................................................................................ 2
§1.4本文的主要工作....................................................................................................... 2
第二章 小波分析的基本理论.................................................................................................... 4
§2.1连续小波变换.......................................................................................................... 4
§2.2离散小波变换........................................................................................................ 10
§2.3多分辨分析............................................................................................................ 11
§2.4 双正交多分辨分析................................................................................................ 13
§2.5图形显示算法及其实现.......................................................................................... 16
§2.6小结............................................................................................. 19
第三章 小波基的选取及构造................................................................................... 20
§3.1小波基选取原则................................................................................ 20
§3.2构造小波滤波器的矩阵方法................................................................................... 22
§3.3矩阵法构造滤波器的一些条件................................................................................ 25
§3.4具体小波的构造................................................................................ 26
§3.5小波编码中滤波器选取仿真................................................................................... 29
§3.6小结........................................................................................... 32
第四章 小波变换在图像压缩中的应用.................................................................................... 33
§4.1小波编码的基本框架.............................................................................................. 33
§4.2标量量化与矢量量化.............................................................................................. 34
§4.3误差的度量.................................................................. 35
§4.4常见的图像压缩算法.............................................................................................. 35
§4.5基于小波树结构的矢量量化压缩算法..................................................................... 43
§4.6小结............................................................... 46
第五章 总结与展望................................................................................. 47
参考文献..................................................................................... 21
小波变换及在图像压缩中的应用
第一章 绪 论
小波分析是上个世纪八十年代初发展起来的新兴数学分支，它无论是对数学，还是对其他应用学科都产生了深远的影响。小波分析的出现，是不同学科、不同领域的交流与交叉学科发展的结晶。
§1.1引言
上个世纪八十年代初，Morlet和Arens等人首次提出了“小波”的概念。小波分析的出现和发展，源于许多不同科学领域信号处理的需要。作为一种数学工具，小波分析已广泛应用于信号分析、图像处理、数值分析等方面，而这些应用中产生的问题进一步激发了人们研究小波分析的兴趣。由此，带来了小波分析的迅速发展。
小波分析主要研究函数的表示，即将函数分解为“基本函数”之和，而“基本函数”是由一个小波函数经伸缩和平移而得到的，这个小波函数具有很好的局部性和光滑性，使得人们通过分解系数刻画函数时，可以分析函数的局部性质和整体性质。小波分析出现之前，人们用Fourier基、Haar基来分解函数。Fourier基具有很好的光滑性，但局部性很差；而Haar基的局部性虽很好，但光滑性很差。小波基却兼有它们的优点。在信号分析中，由于小波变换在时域和频域都有很好的局部特性，因此在数据压缩与边缘检测方面，小波分析是一种非常有效的方法。
小波分析正在处于迅速发展之中，从事小波分析的人越来越多，随着研究的进一步深入，小波分析还将更加广泛和深入地应用在理论数学、应用数学、信号处理、图像处理与分析、语音识别与合成等方面。
§1.2图像压缩
在人类认识自然、改造自然的科学探索与实践中，信息扮演了至关重要的角色。特别是二十世纪中叶以后，随着计算机科学的迅猛发展，信息科学与计算机科学紧密结合，相互促进，其地位与日俱增。当今的人们已普遍意识到，未来的时代就是信息时代。
一般的，信息需要通过媒体来进行记录、传播和获取。最终要的信息媒体包括文字、图像、声音等人们能感知到的，或微波、激光等人们无法感受的。其中，图像是最常见的信息存载和表现形式，它不仅十分直观，而且内涵非常丰富。图像作为信息的载体具有数据量非常大的缺点。例如，一副512×512象素、8bit/pixel的灰度图像占256KB，一副512×512象素、8bit/pixel的彩色图像则占3×256＝768KB；一副2291×2190×8bit的气象卫星红外云图占4.90MB，而一颗卫星每半个小时可发回一次全波段数据(5个波段)，每天的数据量高达1.2GB。另外电视会议数字化的视频图像需要很宽的传输带宽以及巨大的存储容量。视频大致以每秒30帧的速率传输，将达到90Mbps的数据传输率 。由此可见，无论基于存储还是传输考虑，图像数据的压缩都是十分必要的。
当前，图像压缩被认为是一种“开放技术”。由于现代图像传感器不断提高空间分辨率以及电视广播标准的不断发展，图像压缩已经成为一种基本技术，在许多重要且性质不同的领域中扮演着主要角色，比如，电视会议、遥感（使用卫星成像进行天气预报和其他地球资源的应用）、记录文献和医疗成像、传真（FAX）、军事上的远程遥控车辆驾驶、空间中的危险废弃物管理等方面。简而言之，不断扩大的应用领域依赖于对各种图像进行有效的处理、存储和传输。
§1.3小波变换编码的优越性
长期以来，图像压缩编码利用离散余弦变换(DCT)作为主要的变换技术，并成功的应用于各种标准，如JPEG，MPEG-1，MPEG-2。但是，在基于DCT的图像变换编码中，人们将图像分成8×8象素或16×16象素的块来处理，从而容易出现方块效应与蚊式噪声 。
小波变换是全局变换，在时域和频域都具有良好的局部化性能，而且在应用中易于考虑人类的视觉特性，从而成为图像压缩编码的主要技术之一 。基于小波变换的图像编码与经典的图像编码方法相比，至少具有如下优点 ：
(1) 小波变换本质上是全局变换，重建图像中可以免除采用分块正交变换编码所固有的“方块效应”。
(2) 小波变换采用塔式分解的数据结构，与人眼由粗到精、由全貌到细节的观察习惯相一致，这是将WT(wavelets transform)与HVS(human visual system)的空间分解特性结合起来以改善图像压缩性能的有利条件。小波变换比经典的变换(DCT)更符合人的视觉特性，通过合理的量化编码产生的人为噪声比同样比特率的JPEG方法产生的影响要小的多。
(3) 小波变换式图像的时-频表示，具有时间-频域定位能力，并可实现图像中平稳成分与非平稳成分的分离，从而可对其进行高效编码。
因此，小波变换用于图像压缩时，除具有时-频局部化分析方法处理非平稳信号的固有长处外，还体现在它具有易于与HVS相结合的潜力上。目前，基于小波变换的图像压缩算法JPEG2000已经成为新一代的图像压缩标准。这能够说明小波变换在图像压缩编码中的应用。
§1.4本文的主要工作
本文主要研究了小波的基本理论及在图像处理中的应用。讨论了小波的基本理论，小波滤波器的构造，小波分析在图像压缩中的应用。
第二章主要讨论了有关连续小波变换的几种不同定义，分析其联系，然后举了一些常用的连续小波例子，并通过定义验证了Haar和Mexican帽为基小波；给出了一种基小波的构造方法，并证明之；证明了尺度函数和多分辨分析(MRA)产生的半正交小波是是容许小波。研究了图形显示算法，推导了二维情形的图形显示算法，并实现了一维情形的图形显示算法。
第三章探讨了在图像压缩中小波滤波器选取的原则；研究了矩阵法构造小波滤波器的方法，对其前提条件进行总结，以此构造出几种小波。对包括新小波在内的各种滤波器进行小波编码的仿真实验，实验表明新小波的性能很好。
第四章讨论了有关图像压缩的一些问题，讨论了JPEG、WSQ、EZW等算法；最后采用小波分解与矢量量化结合压缩方法，在分裂法产生初始码书的过程中充分考虑小波分解的特性，采用合适的参数进行分裂，并在编码搜索码字的时候考虑人眼对低频部分敏感而对高频部分不敏感，从而对误差采取加权的形式，这样在一定程度上可以保证重要的低频部分误差得到控制，以得到较好的恢复图像。
第五章对全文进行了总结并展望。
第二章 小波分析的基本理论
§2.1连续小波变换
在小波的许多著作中，连续小波的定义并不是很统一，本节讨论了几种连续小波的定义，分析它们的联系和区别；然后举了一些常用的连续小波例子，并通过定义验证了Haar和Mexican帽为基小波；给出了一种基于卷积的基小波的构造方法，并证明之；证明了尺度函数和多分辨分析(MRA)产生的小波是基小波；最后简要讨论了连续小波重构、性质及应用。
1、 连续小波变换的定义
定义1 如果满足“容许性”条件：若图片无法显示请联系QQ3710167
，
那么称 是一个“容许小波”或“母小波”。关于一个基小波 ，在 上的连续小波变换或积分小波变换定义为，
容许条件是为了确保小波逆变换可以进行。定义1中 的条件似乎稍弱，如果 和 都是窗函数，则基小波可以给出有限面积的时间-频率窗。另外 是一个连续函数，则有 ；而 是窗函数表明 ，这样可以得到定义2。
定义2 如果满足“容许性”条件：若图片无法显示请联系QQ3710167
，
那么称 是一个“基小波”，也称“容许小波”。关于一个基小波 ，在 上的连续小波变换或积分小波变换定义为若图片无法显示请联系QQ3710167
，
注：基小波属于，在理论上会对判定函数是否是基小波产生困难。
定义3 如果 满足如下两条要求
⑴ 是连续的且呈现指数衰减[即，对某些常量C，M]
⑵ 的积分为零[即]
则定义函数 的小波变换为定义3中的衰减条件和积分为零条件可以推出定义2中的容许性条件 ，而定义2中，可推出 是一个连续函数，所以由容许性条件中 的有限性可以推出，或者等价地有，这就是 称为“小波”的原因 。
2、 连续小波的例子
例1 Haar小波
证明：若图片无法显示请联系QQ3710167
=
故 (t)是一个基小波。
例2 Mexican帽小波
(t)= (1－t )
证明：令，则
小波变换及在图像压缩中的应用
= =
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故 是一个基小波。
例3 Morlet实小波
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图1.1.1-1.1.3分别为Haar小波、Mexihat小波、Morlet小波的图形：
图1.1.1: Haar 图1.1.2: Mexihat 图1.1.3: Morlet
例4 Morlet复值小波 -
例5 复高斯小波 例6 复香农小波 若图片无法显示请联系QQ3710167
图1.1.4: 复Morlet小波实部 图1.1.5: 复Morlet小波虚部
1、 连续小波的构造
定理1 设 是一个基小波，且，那么对任意，有
也是一个基小波。
证明：（1）首先证明是 上的有界函数：
即存在一个正整数M，使得||
（2）于是， 也是一个基小波。
例7 设 是Haar小波，g是具有紧支的连续函数，则 是一个基小波。
比如，很明显| |，此时(Haar小波为基小波)
因此， 为基小波。
引理1 是由尺度函数和多分辨分析生成的半正交小波，则（j, k Z）是的Riesz基。
引理2 设是可分Hilbert空间H中的一列向量，则下述命题等价：⑴ 是H的Riesz基；
⑵ 是H的框架，且是线性无关的。
定理2 由尺度函数生成的半正交小波是基小波。
证明：由引理1可知尺度函数成生的半正交小波得到的是 的Riesz基，而由引理2可知是上的框架。
即生成的一个框架，而框架一定满足二进小波的稳定性条件，那么它必定是一个二进小波 ，而一个二进小波必然是一个基小波。
这样，就证明了通过尺度函数和多分辨分析生成的小波是基小波。
推论 Meyer小波与Daubechies小波以及样条小波都是基小波。
因为Meyer小波和Daubechies小波都是由尺度函数和多分辨分析产生的正交小波，样条小波是半正交小波，因此根据定理2它们都是基小波。
2、 连续小波的重构及性质
连续小波变换的重构公式为：若图片无法显示请联系QQ3710167
具体证明参见文献[4]。
从连续小波的定义知道，任何信号 的连续小波变换 是一个关于 的二元函数，但是具体信号的连续小波变换的表达式一般说来是相当复杂的。下面介绍连续小波的重要性质：
⑴ 线性：一个多分量信号的小波变换等于各分量的小波变换之和。
⑵ 平移不变性：若的小波变换为，则的小波变换为⑶ 伸缩共变性：若的小波变换为，则的小波变换为⑷ 自相似性：对应不同尺度参数 和不同平移参数 ，连续小波变换之间是自相似的。
⑸ 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。这种冗余性主要表现在2个方面：
① 连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的。
② 小波变换的核函数 存在许多可能的选择，如他们可以是非正交的小波、正交小波、双正交小波、甚至允许是彼此线性相关。
小波变换在不同的 之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，因此小波变换的冗余度应该尽可能的减小。
3、 具体信号的连续小波变换
例8设，基小波取为Harr小波 ，则时，信号连续小波变换。
仅从此例就可以体会到，在具体应用中，不同信号的连续小波变换是很复杂的，文献[11]给出了门函数、单边指数函数、阶跃函数等信号在给定小波基下的连续小波变换的表达式，并且做出了相应的三维图形。下面给出了两个具体信号的连续小波变换的图形。左边的信号除了明显的奇异点外均比较光滑，而右边的信号存在较多的奇异点，小波变换对奇异点是很敏感的。图1.1.6: 连续小波变换的例子，纵轴表示，横轴表示b。若图片无法显示请联系QQ3710167
一般计算连续小波变换都采用数值计算的方法：
设，取步长为，令，，则
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。
上式可以用快速卷积运算来完成。卷积运算可以在时域完成，也可以在频域里通过FFT来完成。
4、 连续小波的应用
小波分析的最初是在工程应用中发展起来的，是工程应用与数学结合的结晶。小波变换是一个时间和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数和信号进行多尺度细化分析，解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题，被誉为“数学的显微镜” 。现在连续小波变换已经广泛地应用于时频联合分析、去噪、特征提取、地质勘探、涡流、力学等领域 。比如在去噪中，连续小波变换具有较大的冗余性，对于去噪和数据恢复是十分有利的 ，而冗余对图像压缩是不利的，图像压缩中需要的是无冗余的正交小波；小波对信号的奇异点十分敏感，对突变信号的分析非常有效，因而在故障检测和边缘检测中，连续小波是很有效的 ，文献[15]也表明连续小波变换具有比传统的二进小波更好的检测能力，非常适合于故障检测；而复小波能够提取有关相位信息，因而可以实现包络分析处理 ；后面介绍的离散小波变换的各个尺度的小波分量的系数就是信号在各尺度下的连续小波变换，因此，可以这样说，几乎所有小波分析的应用都与连续小波变换有关。若图片无法显示请联系QQ3710167
§2.2离散小波变换[1]
在实际应用中，需要将连续小波离散化。这里的离散是指将连续小波 和连续小波变换若图片无法显示请联系QQ3710167离散化。在连续小波中，考虑函数 ， 是容许的，在离散化时，总限制 取正值，这样离散小波变换的容许条件就变为：若图片无法显示请联系QQ3710167
从而离散小波变换表示为：其重构公式为：为一与信号无关的常数。这样，我们将信号 分解为不同尺度与平移参数的小波分量之和。
如果 还有一个对偶，它们一起满足双正交条件则系数
是 的连续小波变换在第 尺度与第 平移处的值。所以，连续小波变换与离散小波变换是不可分离的。
实际应用中，通常用卷积形式的小波变换，对于函数，在尺度 上的卷积小波变换记为这时容易计算的连续小波变换的傅立叶变换。
小波变换及在图像压缩中的应用
§2.3多分辨分析
关于多分辨分析，我们先给出一个三层分解的结构图如图2.3.1所示，其中A表示低频部分，D表示高频部分。若图片无法显示请联系QQ3710167
从图2.3.1的多分辨分析的树结构图中，可以看出，多分辨分析只是对低频空间进一步分解，使频率的分辨率变得越来越高。下面我们分析多分辨分析是如何构造正交小波基的。
定义3：设 为空间 中的闭子空间序列，如果满足下面六个条件，则称 为 的一个多分辨分析。
⑴ 单调性：
⑵ 逼近性： (2.3.3)
则 称为多分辨分析 的一个尺度函数， 为 的规范正交基。
设 表示图2.1中分解的低频部分 ， 表示图2.1中分解的高频部分 ，则 是 在 中的正交补空间，即：
这样就把 分解为互相正交的子空间。这样形成的序列 具有以下两个性质：
① 平移不变性：若，则 （2.3.9）
由（2.3.9）式得
因此
（2.3.10）
将（2.3.10）式作Fourier反变换得 （2.3.11）
就是小波函数，构成 的标准正交基。
§2.4 双正交多分辨分析
在紧支撑正交小波基中，只有Haar小波的尺度函数具有对称性 。在实际应用比如图像处理中，人们需要尺度函数 (小波函数 )具有对称性、线性相位，双正交小波基具有这种优越的特性。
与正交多分辨分析不同的是，在双正交多分辨分析的框架下，尺度函数 与小波函数 关于时间平移参数都不是正交的。当函数 与 作时间平移与频率伸缩得到 与 时，双正交要求它们与其对应的对偶函数 与 满足下面的正交条件：若图片无法显示请联系QQ3710167
， （2.4.1）
上式也称为双正交条件。
定义4 若,是双正交的，其伸缩平移构成的空间：
各自形成空间的多分辨分析，则称这两个多分辨分析为由 和 生成的双正交多分辨分析。
在双正交的多分辨分析下，双尺度方程表示为
并且存在空间分解(但不是正交分解)
这里算子 表示直接和，是在空间的补(不是正交补)，即，且
。 是 在 空间的补。
同样
于是形成两个多分辨空间的分解：于是对某个j，有 （2.4.2）
由双正交的定义可知，当n，所以.
所以这两个多分辨空间就像“拉链”一样相互正交：第一个小波空间垂直于第二个多分辨，而第二个的小波空间垂直于第一个多分辨空间，它们相互补充，最终实现完整的信号分解和重构。
式子（2.4.2）表明函数与，以及与彼此正交。因此，可以假设 ，
双正交小波的变换与正交小波的变换是一样的，不过此时有两对滤波器：()和()。我们可以选择其中一对(例如())进行小波变换，另外一对(例如())进行信号的重构，此时进行分解的滤波器称为分析滤波器，进行重构的滤波器称为综合滤波器。若图片无法显示请联系QQ3710167
对于中的任意子空间，有
＝…＝
因此， 中的任意函数 都存在如下多分辨表示：
＝…＝
其中，
表示 的低频成分，而 ，l = M, … , j-1表示 在不同分辨率下的高频成分。与正交多分辨分析表示类似，假设已知在 中的投影为 ，记为
，根据两尺度方程，有又根据双正交条件，可得到分解算法
（2.4.3）
重构算法为：
＝ （2.4.4）若图片无法显示请联系QQ3710167
§2.5图形显示算法及其实现
在信号分析中，许多情况下都需要提取弱信号，这在Fourier分析中根本不可能办到。例如，在机器故障监测与诊断中，当机器发生故障时，由于机器各零部件的结构不同，致使振动信号所包含不同零部件的故障频率分布在不同的频段范围内。如机器隐藏有某一零部件的早期微弱缺陷时，它的缺陷信息被其它零部件的运行振动信号和随机噪声所淹没。为了有效地提取弱故障信号，即提取某一弱信号，实现早期诊断，可用小波分析理论，对信号进行小波与小波包分解，把信号分解为各个频段的信号，再根据诊断的目的选取包含所需零部件故障信息的频段序列，进行深层信息处理以查找机器的故障源 。而小波变换中使用的Mallat塔式算法在分解过程中，随着分解层数的增大，数据点成倍减少，这样对信号的进一步分析带来不便 。[4]中首次提出的图形显示算法可以解决这一问题。本节分析了一维信号的实例，并推导了二维情形的图形显示算法。
1．图形显示算法
设 是一个给定的多分辨分析，为相应的尺度函数，待分析信号为，为信号经Mallat算法分解j层后的低频部分的图形， 为信号经Mallat算法分解j层后的高频部分的图形。对于固定的尺度j，低频部分表示为：根据两尺度关系，式(2.5.1)可化为： (2.5.2)
其中 称为小波系数，记做：，为低通滤波器。
因为，所以有： (2.5.3)
则由(2.5.3)和(2.5.4)式得：
(2.5.4)
这时 (2.5.5)
同理，高频部分的作图类似于。
(2.5.6)
事实上，由两尺度关系， 可表示为
，其中 (2.5.7)
式中 为相应的低通滤波器。其它的由式(2.5.3)来计算。所以有下式成立：
小波变换及在图像压缩中的应用
当 的系数采用直接选取法的时候，则信号经小波分解后的低频部分的图形显示算法的公式如下：若图片无法显示请联系QQ3710167
高频部分的图形显示算法的公式如下：若图片无法显示请联系QQ3710167
2．图形显示算法的二维情形
设 是一个二维分辨分析，为相应的尺度函数，待分析信号，为经Mallat算法分解得到的低频部分，，为分解得到的低频部分。对于固定的尺度j，可表示为：=
所以 (2.5.14)
此时= (2.5.15)
同理可得，的图形显示算法如下：
(2.5.16)
， (2.5.17)
(2.5.18)
3. 一维图形显示算法实例
现对两个普通信号进行分析，一个是混合信号如下
，采样点256，原信号如图2.5.1.
图2.5.1 原始信号 图2.5.2 图形显示算法重构信号与分解低频信号比较
对其进行小波分解，采用小波为db4，分解一层的低频信号与用图形显示算法重构的图形如图2.5.2，可以看出，用图形显示算法重构后的图形重合与低频信号的图形重合的比较好。若图片无法显示请联系QQ3710167
第二个信号为Matlab自带的信号leleccum，取256个点，原图像如图2.5.3.
图2.5.3 原始信号 图2.5.4 图形显示算法重构信号与分解低频信号比较
分解一层的低频信号与用图形显示算法重构的图形如图2.5.4，可见，低频信号与用图形显示算法重构后的图象重合，而重构后图形点数为低频系数点数的两倍，明显更为光滑，因此更有利于信号的分析。
§2.6小结
本章主要介绍了小波的基本理论。介绍了连续小波的几种不同的定义，分析其联系与区别；提出了一种基于卷积的基小波构造方法；证明了尺度函数和多分辨分析产生的半正交小波是基小波；简要介绍了连续小波的应用。介绍了离散小波、多分辨分析的理论，着重介绍了双正交多分辨分析。最后讨论了图形显示算法，推导了图形显示算法的二维情形，并实现了图形显示算法的一维情形。
第三章 小波基的选取及构造
本章研究了图像压缩中小波滤波器选取的原则，比较了正交小波与双正交小波性能、双正交小波中多种不同的滤波器的性能。文[26]中提出构造小波滤波器的一种新算法, 这种方法避免使用Z变换或Fourier变换, 是一种非常好的构造小波的方法，第二节介绍了构造小波的矩阵方法；第三节总结研究了如何确定滤波器长度与消失矩的阶数, 第四节构造了9/11,10/10,9/15小波；最后分别在EZW和WSQ算法下研究了各种小波滤波器的性能。实验表明新小波的性能很好。
§3.1小波基选取原则
S.Mallat 曾经说过，在数据压缩、信号去噪及快速计算等大多数小波应用中，主要利用小波基可以用较少非零小波系数去有效逼近实际函数的能力，选择小波基应该是以最大量的产生接近于零的小波系数为最优。我们知道小波基的这种能力主要依赖于其数学特性：消失距、正则性、紧支性、对称性和正交性等 。本节从讨论小波基的这些性质出发，给出了选择小波基应该考虑的数学因素。⑴ 消失距
定义3.1 小波函数 具有m阶消失距(Vanishing Moments)，如果直接从消失距的定义可以推知，m阶消失距意味着小于m次的多项式与小波 内积作用的结果都是零。由数学分析的知识我们知道，一般光滑函数 都能用多项式来刻画(Taylor展开)，因此小波的消失距越高，光滑函数在小波展开式中的零元就越多(实际小波变换中，严格为零的小波系数也很少，但大多数小波系数都在零元附近，显然消失距越高，零元附近的元素比例就越大)。
以下有关消失距的结论是等价的：
① 具有m阶消失距，即。
② 若在处k次连续可导，且
③ 若在次k次连续可导，且
④ 这个条件也可以说成：在点有m重零点。
任意光滑函数可以用尺度函数在每一个尺度上作逼近，其逼近阶是，即，，且的小波系数具有衰减阶，即。
⑤ 多项式可以由尺度函数表示：，。
由此可见，小波基的消失距特性本质上决定了该小波逼近光滑函数的能力，因此在应用中，我们总希望选择消失距比较高的小波基。
⑵ 正则性
正则性一般用来刻画函数的光滑程度，正则性越高，函数越光滑。通常用Lipschitz指数 来度量函数的正则性。
定义3.2 与Lipschitz指数 有关的定义如下：
I．函数在点具有局部Lipschitz指数 ()，如果存在K>0和一个n阶的多项式(这里n=)，使得，
II．函数在区间上具有一致Lipschitz指数 ()，如果对任意
，都具有局部Lipschitz指数，而常数K是与无关的。
若在点n次连续可微，则正好是Taylor级数展开的前n项，所以Lipschitz指数 描述的正好是函数与多项式的近似程度。具有一致Lipschitz指数函数又称为类函数。
小波基的正则性主要影响着小波系数重构的稳定性 。如果由小波系数得到如下的重构公式：若小波系数不发生任何改变地重构，则得到的 是精确的；但若小波系数被加上了误差 (例如不可避免的截断误差，信号压缩时的量化，信号去噪时的阈值化等都属于这样的情况)，则等同于重构信号 增加了 。若 是光滑的，则误差 是光滑误差。只要原始误差 不太大，则最终误差 也不会太大，即不会出现非正则性的奇异误差。从图像处理的角度来看，具有相同能量大小的光滑误差比非正则性误差在人的视觉上有更好的容忍度。Haar小波是典型的非光滑小波，其重构的信号存在“锯齿”现象，效果非常差。所以对小波 要求一定的正则性(光滑性)是为了获得更好的重构信号。
⑶ 紧支性
尺度函数是紧支的，意味着对应的滤波器只能取有限个，双尺度方程为容易知道的支集是，支集长度为N+1，正好是非零滤波器的个数。若高通滤波器取为，则由此构造的小波支集长度仍为N+1。
在实际应用中，我们对紧支小波比较感兴趣。我们不仅希望小波是紧支的，更希望小波是支集长度尽可能短的。如果 在 点有一个孤立的奇异点，而这个奇异点 落在某个 的支集内，则小波系数 可能会出现一个很大的值；若 的支集长度为N+1，如果N很大，就可能会有大量的小波系数值很大，这与实际中希望小波系数的值尽可能小相悖。还有一个原因在于短支集能够提高计算速度，这在应用中也是非常重要的。另外，小波的紧支性与消失距之间的关系也很密切。对于正交小波基来说，若 具有m阶消失距，则其支集长度至少为2m-1 。这就是说，当我们增加消失距时，就不可避免的增加了支集长度。若函数 的正则性比较高，可以选择高消失距的小波，若 的奇异点较多，可以选择短支集的小波。
⑷ 对称性
尺度函数和小波的对称性，反映在滤波器中，序列和是对称序列，也就是说()，对 也如此。在信号处理中滤波器的(反)对称性在频域上表现为(广义)线性相位。
对称滤波器组具有两个优点: 一方面人类的视觉系统对边缘附近对称的量化误差较非对称误差更不敏感, 另一方面对称滤波器组具有线性相位, 在对图像进行处理时, 线性相位是很重要的, 对图像边缘做对称边界延拓时, 重构图像边缘部分失真较小, 有利于获得高质量的重构图像。
但是Daubechies在《小波十讲》中已经证明了在紧支正交的实数小波中只有Haar小波是具有对称性。于是人们放弃正交性构造双正交紧支小波，因而在图像压缩中常用的小波为双正交小波。
§3.2构造小波滤波器的矩阵方法
有限长信号的Mallat算法等价于向量空间的矩阵变换，且变换矩阵是一个有限2-循环矩阵。文献[26]提出最小矩阵的概念(minimal matrix)，由此而得到的一些定义和定理可以推出一种新的构造小波滤波器的算法。这种方法避免使用Z变换或Fourier变换，使得小波滤波器的构造变得简单, 是一种非常好的构造小波的方法。
由于正交小波是双正交小波的特殊情形，所以我们只讨论双正交情形，并且假设滤波器长度均为有限长度的。
令序列对{}()和{}()为小波分解端的滤波器组，这一对滤波器组产生N阶的循环矩阵M。令{}()和{}
()为相应的重构滤波器组，这一对产生N阶循环矩阵 ，X是一个N维离散信号的列向量，N为偶数。信号X的周期延拓极记为 。
定理3.2.1
(1) Y=MX是信号周期上的一次离散小波分解。它的前N/2个分量为低频系数，后N/2个分量为高频分量。
(2) X= Y是信号的重构。
推论 完全重构条件
＝ (对于任意k, l) (3.2.1)
成立当且仅当 M=I，这里I为单位矩阵。
定理3.2.1表明离散小波变换确实是有限维向量空间上的线性变换。很明显，当小波变换是正交时，矩阵M也是正交矩阵。矩阵M需要足够大的维数，但是我们不清楚到底要多大。
小波变换及在图像压缩中的应用若图片无法显示请联系QQ3710167
令 ，D＝max{}.
定理3.2.2 存在一个有着最小的维数N的变换矩阵M使得
(1) ＝ (对于任意k, l)成立当且仅当 M=I
(2) DNmax-min . (3.2.2)
定理3.2.2使得滤波器的设计仅仅依赖于一个最小维数的矩阵。一旦所有滤波器的支集确定之后，矩阵的维数也可以由此估计出来。
定义3.3 如果{}和{}为小波变换的分解滤波器，那么由此产生的具有最小维数的循环矩阵叫做小波变换的最小矩阵(minimal matrix)。
一般来说3.2.2式不是最小矩阵的阶数，为了方便，3.2.2式被看作最小矩阵的阶数。
给定滤波器对{}和{}满足若图片无法显示请联系QQ3710167
假定由这对滤波器产生的矩阵M是可逆的，则有如下定理
定理3.2.3 假设{}和{}满足3.2.3和3.2.4，{}和{}的长度为偶数，且{}为对称的。令M为由{}和{}产生的N维循环矩阵，并假定M为可逆的。令为的列向量。那么有
= (1 i N/2) (3.2.5)
=0 (N/2+1 i N) (3.2.6)
定理3.2.4 令M为一个由{}和{}产生的循环矩阵，假设M是可逆的，其逆=，那么也是一个由某个滤波器对产生的循环矩阵。
证明：令X=若图片无法显示请联系QQ3710167
容易证明方程(3.2.7)能推出(3.2.8)，反之亦然，即方程(3.2.7)和(3.2.8)是等价的。这说明Y是 的第二列，也就是说 是由某个序列对产生的循环矩阵。
把M和 分别写成如下形式：
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此处H和G， 和 均为N×2N的矩阵。
假设M和 均为最小矩阵，且和分别表示 和 的第一行，则有
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其中O表示元素全部为零的矩阵。
定理3.2.5 M=I成立当且仅当方程(3.2.3)(3.2.4)和(3.2.11)至(3.2.14)均成立。
由此可以得到以下设计滤波器的算法：
1．正交情形的算法。当M为一个正交矩阵时，=。假设M为最小矩阵。此时，方程(3.2.11)是一个仅与{}相关的二次方程；而方程(3.2.14)是一个仅与{}相关的二次方程。于是，方程(3.2.3) (3.2.11)和方程(3.2.4) (3.2.14)构成了构造正交小波滤波器的必要条件。
2．双正交情形的算法。双正交小波滤波器含有两队滤波器。如果G确定了，(3.2.5)和(3.2.13)为线性方程组，(3.2.6)和(3.2.14)亦为线性方程组。(3.2.5) 和(3.2.13)，(3.2.6)和(3.2.14)为构造双正交小波滤波器的必要条件。根据这些条件，人们可以根据自己的需要设计小波滤波器。
文[26]提到算法可能无法得到滤波器。例如，7-7 完全重构双正交滤波器不存在。文中并没有说明何时滤波器存在何时不存在，下一节将讨论一些前提条件，可以帮助在一定程度上确定滤波器存在与否。
注：N阶2循环矩阵是这样一个矩阵：若图片无法显示请联系QQ3710167
§3.3矩阵法构造滤波器的一些条件
定理3.3.1 若滤波器长度为偶数，则小波必为奇对称。若滤波器长度为奇数，则小波必为偶对称。
证明：反证法，设小波分解端滤波器长度为2n，=为偶对称
则=, n为奇数
或=, n为偶数
那么有=0，这与=矛盾，所以此时小波必为奇对称。
类似的可以知道，若{}为奇数长，则其必为偶对称。
定理3.3.2 若滤波器{}，{}均为奇数长，则它们的长度之差必为2的奇数倍数；若滤波器{}，{}均为偶数长,则它们的长度之差必为2的偶数倍数。
定义3.4 若{}满足则说{}有n阶消失矩。
如果{}对应某个小波，则定义3.3与3.1是等价的 。
定理3.3.3: 滤波器为奇数长的双正交小波其消失矩必为偶数；滤波器为偶数长的双正交小波其消失矩必为奇数。
从文[26]的角度, 我们从具体的例子出发来说明：先设滤波器长度为11，消失矩为6，{}={f, e, d, c, b, a, b, c, d, e, f}，定义3.3关于消失矩的定义可以得到矩阵A：使得AX=0, 其中X=
经过初等行变化，我们看到一阶消失矩满足时，则二阶消失矩自动满足，三阶消失矩满足时，则四阶消失矩自动满足，而五阶消失矩满足时，六阶消失矩自动满足。就是说矩阵行之间满足一定的相关性。所以我们可以看出滤波器长度为奇数时，其消失矩应为偶数。
同样，在小波滤波器长度为偶数时，其为奇对称，所以一阶消失矩自动满足，可以看到当二阶消失矩满足时，三阶消失矩自动满足，而四阶消失矩满足时，五阶消失矩自动满足。所以滤波器长度为偶数时，其消失矩应为奇数。
定理3.3.4 分别具有p和q阶消失矩的双正交小波和的支集长度至少为p+q-1。
定理3.3.5 如果对于和，{}，{是非零的，那么和有分别等于和 的支集，且与的支集长度相同，都等于.
这说明，即{}，{}长度之和为，在 和 有p和q阶消失距的小波时，如果需要最小支集，{}，{}长度之和为2(p+q).
§3.4具体小波的构造
参照上面几点, 我们可以根据需要去设计小波, 如要设计分解端消失矩为6, 而重构端消失矩为4的小波, 则此时小波滤波器的长度应为奇数并且是偶对称的, {}，{}长度之和至少为2(4＋6-1)+2=20. 根据定理3.3.2, 9/9和11/11都是不可能的. 当然我们希望设计支集最小的小波, 根据定理3.3.3, 这时候10/10小波是不行的, 而9/11小波和11/9小波是可能的. 于是设1/{}={f, e, d, c, b, a, b, c, d, e, f}, 其支集为[-4, 6], 对偶{}={x, w, v, u, t, u, v, w, x}, 其支集为[-3,5]. { }具有6阶消失矩, 根据定义3.4的消失矩条件它应满足方程:
a+2b+2c+2d+2e+2f=0
-4f-3e-2d-c+a+2b+3c+4d+5e+6f=0
16f+9e+4d+c+a+4b+9c+16d+25e+36f=0
-64f-27e-8d-c+a+8b+27c+64d+125e+216f=0
256f+81e+16d+c+a+16b+81c+256d+625e+1296f=0
-1024f-243e-32d-c+a+32b+243c+1024d+3125e+7776f=0
考虑到, 且1/=1, 有
a-2b+2c-2d+2e-2f=1
求得他们的解是:
c = -6a/7 -8b/7+3/32, d = a/7-9b/14-27/128, e =5a/14+8b/7+5/32, f =-5b/14-a/7-5/128
根据定理3.2.2，滤波器对构成的极小矩阵(Minimal Matirx)的阶数是18。于是构造一个18阶的2-循环矩阵。基于3.2节的算法，可以获得一个方程组如下：
at+2bu+(-12a/7-16b/7+3/16)v+(2a/7-9b/7-27/64)w+(5a/7+16b/7+5/16)x=1
(-6a/7-8b/7+3/32)t+(a/7+5b/14-27/128)u+(19a/14+8b/7+5/32)v+(9b/14-a/7-5/128)w+(-6a/7-8b/7+3/32)x=0
(5a/14+8b/7+5/32)t+(-b-1/4)u+(-6a/7-8b/7+3/32)v+bw+ax=0
(-5b/14-a/7-5/128)u+(5a/14+8b/7+5/32)v+(a/7-9b/14-27/128)w+(-6a/7-8b/7+3/32)x=0
(-5b/14-a/7-5/128)w+(5a/14+8b/7+5/32)x=0
又因为{ }具有四阶消失矩，所以满足以下方程：
t+2u+2v+2w+2x=0
u+4v+9w+16x=0
以上方程组是一个非线性方程组，可以使用Matlab得到两组解如下：
a
b
t
u
v
w
x
.63604686
-.33715082
1.04179481
-.48875967
-.07702342
-.01124032
.05612601
.38263862
-.24278634
1.87669715
-.66749032
-.51447122
.16749032
.07612264
所以我们可以得到两组9/11 (这里指对应的滤波器的长度)滤波器:
0
1
2
3
4
5
-1.32702528
-0.47198693
0.36378609
0.11843354
-0.05382683
0.54113273
0.34335173
0.061156453
0.00027987
0.02183057
0.00992177
0.73666018
0.34560528
-0.05446378
0.00794810
0.03968708
0.89950610
0.47680326
-0.09350469
-0.13670658
-0.00269496
0.01345670
上面第二组9/11小波在图像压缩中的效果很好, 十分接近于9/7小波. 通过他们的图形可以看出, 第二组的数学性质更好, 其压缩效果也更好，图3.4.1给出了它的图形。这两组滤波器与文献[21]中的11/9滤波器是相同的, 但是我们在构造的过程中可以看出采用9/11小波使得分解端具有更高阶的消失矩, 这样对图像压缩的效果更好, 而采用四阶消失矩的小波用于分解端, 效果则不如前者, 后面的实验证明了这一点.
如果要设计分解端和重构端均为5阶消失矩的小波, 则滤波器长度之和至少为20, 又根据定理3此时滤波器长度应为偶数, 所以10/10为最小支集的小波. 和上面的设计一样, 可以得到两组10/10滤波器, 其中一组如下：
1(0)
2(-1)
3(-2)
4(-3)
5(-4)
0.8995061097
0.0541004218
-0.2411098166
-0.0323033526
0.0269134189
0.5411327316
0.1455707467
-0.0232578399
0.0238175984
0.0198435441
而另外一组为它的对偶.
另外还可以还设计分解端消失矩为8,重构端消失矩为4的9/15小波如下:
0
1
2
3
4
0.6519699750
0.3235143195
-0.01273095907
0.03003907099
0.04029936218
1.019768345
-0.5320508162
-0.1552478839
0.2130050675
-0.00330549524
5
6
7
8
-0.00330549524
-0.03748939948
0.002222597126
0.00298175860
图3.4.1: 9/11小波图形若图片无法显示请联系QQ3710167
图3.4.2: 10/10小波图形
图3.4.3: 9/15小波图形
其中9/11、10/10、9/15小波的图形如图3.4.1、3.4.2、3.4.3所示。可以看出10/10小波的正则性比9/15小波好。9/15小波分解端虽然消失矩高, 但是其正则性差, 所以其压缩效果不是很理想。9/11小波和王国秋 的9/7小波很相似，但是性能更好。下面一节我们将对各种小波滤波器进行性能对比。
§3.5小波编码中滤波器选取仿真
本节主要讨论有关滤波器的选择。在前面我们讨论了有关小波基选择的理论，
小波变换及在图像压缩中的应用
本节通过实验比较一些常用的小波滤波器：Haar小波，db4，db8（Daubechies小波），CDF9/7小波，9/3小波以及本章构造的Myw10/10、Myw9/11、Myw9/15小波。分别在WSQ指纹压缩算法和EZW压缩算法下比较其性能，衡量指标采用峰值信噪比（PSNR），并结合人眼主观判断。
表3.5.1：EZW算法
小波/PSNR/比特率
0.4bpp
0.5bpp
0.8bpp
CDF9/7
35.8575
36.4559
39.0132
Haar
32.2805
33.6160
35.7996
Db4
34.0640
35.4974
37.4541
Db8
34.8753
35.8935
38.2211
myw10/10
34.6487
36.5285
37.6190
表3.5.1给出了在EZW算法下各种小波在不同比特率下的压缩效果。Haar是不光滑小波，其效果差是可以预见的；Daubechies的正交小波性能有所改进，但是明显双正交小波的效果要更好。图3.5.1中给出了在EZW算法下对Lena图像进行压缩的例子，比特率为0.5BPP，Haar小波的恢复图像出现了方块效应，而9/7小波和10/10小波都能较好的还原图像。
下面把上一节构造的新小波用于WSQ指纹图像压缩算法，
表3.5.2：WSQ算法
小波/PSNR/压缩比
5:1
15:1
25:1
myw10/10（1）
41.979385
36.621544
33.930912
myw10/10（2）
40.428741
34.434589
32.425568
myw9/11
42.905449
37.288288
34.755398
myw11/9
41.726242
36.332958
33.358753
9/3
41.545921
35.709435
33.121155
3/9
40.574360
34.576290
32.089336
9/7
43.310028
37.723919
34.844570
Haar
37.037380
30.367420
28.796766
myw9/15
41.031021
35.237396
33.409283
从表3.5.2中可以看出，11/9小波的效果十分接近于9/7小波，而10/10小波的效果也相当不错。从主观视觉来看，10/10小波的效果似乎很好，而10/10小波是等长的，有利于设计并行算法。另外，从表中可以看出，对于同一对滤波器，采用哪一个作为分解滤波器，哪一个作为重构滤波器是有区别的。一般的，采用消失矩高的小波分解得到的效果比较好。
a. Lena原图像 b. Haar小波(0.5bpp,EZW)
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C. Myw10/10小波(0.5bpp,EZW) d. CDF9/7小波(0.5bpp,EZW)
图3.5.1：几种小波重构图像对比(EZW)
图3.5.2分别为在wsq指纹压缩图像系统下用9/11小波、10/10小波和9/15小波解压得到的图像, 压缩比为15:1。可以看到9/11和10/10小波的效果是很好的。
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图3.5.2 几种小波解压图像对比(WSQ,15:1)
§3.6小结
小波编码中有两个关键问题：小波滤波器的选择和算法的设计。本章研究了在图像压缩中小波滤波器选取的原则；研究了矩阵法构造小波滤波器的方法，对其前提条件进行总结，以此构造出几种小波。最后对各种常见的小波滤波器进行小波编码的仿真实验。实验表明，新构造的小波的性能很好。
第四章 小波变换在图像压缩中的应用
每天都有大量的信息进行存储、处理和传送。美国已经将整个美国国会图书馆的图书（及一些馆藏物品）编制了目录，使其成为世界上最大的电子图书馆，以此作为其进行数字化和建立电子政府的第一步 ；网上的许多信息是以图像形式存储的，如果需要进行快速或实时传输以及大量存储，就需要对图像数据进行压缩，在同等的通信容量下，如果图像数据压缩后再传输，就可以传输更多的图像信息，也就可以增加通信能力，所以对于存储和通信的需求是无限的。所以图像压缩方法比起图像的存储或传输具有更为突出的实用价值和商业意义。
图像压缩所解决的问题是尽量减少表示数字图像时需要的数据量。减少数据量的基本原理是除去其中多余的数据。以数学的观点来看，这一过程实际上就是将二维象素阵列变换为一个在统计上无关联的数据集合。这种变化在图像存储和传输之前进行，而在以后的某个时刻再对压缩图像进行解压缩来重构原图像或原图像的近似图像。图像压缩研究的就是寻找高压缩比的方法且压缩后的图像要有合适的信噪比，在压缩传输后还要恢复原图像，而且在压缩、传输和恢复的过程中还要求图像的失真小等。
图像压缩是小波分析的一个重要应用，它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持图像的特征基本不变，且在传递过程中可以抗干扰，实现累进传输等。
§4.1小波编码的基本框架
基于小波变换的图像压缩编码模型一般包含3个部分。首先，利用二维Mallat分解算法对原始图像进行分解，假设分解成M层，则得到3M个高频子图与一个低频子图，如图4.1.1。由于小波变换系数在幅度上还是连续的，因此，第二步需要对小波变换系数进行量化，其被量化以后产生符号流的每一个符号是对应特定量化阶层的标记，信息的损失一般发生在量化级。第三步则由熵编码把量化得到的符号流表示为比特流，以达到压缩数据的目的。常用的熵编码有算数编码，Huffman编码等。最后把比特流进行存储或传输。对于静态图像这样的二维信源，需要使用二维滤波器进行处理。考虑到小波函数的可分离性，二维滤波器可由一维滤波器复合而成 。若图片无法显示请联系QQ3710167
个：小波滤波器的选择；量化算法。从早期的小波标量量化（WSQ）压缩指纹到嵌入式零树小波压缩算法（EZW）到新一代静止图像压缩标准JPEG2000，小波变换在图像压缩中的应用得到迅速发展。
LL3
HL3
HL2
HL1
LH3
HH3
LH2
HH2
LH1
HH1
图4.1.1：三层小波分解
§4.2标量量化与矢量量化
一般，图像编码中的量化不是A/D转换后的量化，而是指经过正交变换（例如小波变换）后，熵编码（例如算数编码）之前，对正交变换的系数的量化处理。量化输入值的动态范围很大，需要以多个比特数来表示一个数值，而量化输出只能取有限个整数，即量化级。每个量化输入被归一到与其接近的某个输出，即量化到某个级。
量化处理总是把一批输入量化到一个输出级上，所以量化处理是一个多对一的处理过程，是不可逆的。因此，量化是有信息损失的，是引入失真的原因。对于无损压缩来说不应该存在量化。
标量量化把每一个量化系数同实数轴上的一个区间相联系，也就是把实轴的一个子集中的每一个元素映射为那个子集中的一个特定值。考虑把实轴划分为M个不相交的区间：若图片无法显示请联系QQ3710167
在每个区间内，选择点作为的输出值（码字）。则标量量化器是一个从R到
的映射。确切的说，对一给定的x，使包含x的区间的索引q。即：。反量化器为：。
矢量量化器定义为从k维欧几里德空间到一包含N个输出点的有限集合C的映射，即，其中，，。集合C称作码书，其大小为N。码书的N个元素称作码字或码矢量，它们均为中的矢量。
从信息论的角度来看，矢量量化总能获得优于标量量化的率失真性能，因此，在基于小波变换的图像压缩编码中，矢量量化是主要的量化技术之一。
小波变换及在图像压缩中的应用
§4.3误差的度量
开发和实现有损图像压缩要有一种标准度量，用来衡量与原始图像相比较的重建图像的质量。重建图像对原始图像表征得越好，该度量的生成值越大。这样一个度量还应生成一个无量纲的数，它对于重建图像的小变化不太敏感。为此而常用的一个度量是峰值信噪比（PSNR）。若图片无法显示请联系QQ3710167
设原始图像和重建图像的像素分别表示为和（其中），我们首先定义两幅图像的均方误差（MSE）为：
相应的均方根误差为：
信噪比（SNR）和峰值信噪比（PSNR）分别定义为（单位为db）：
大家都熟悉PSNR，也易于计算，但与人类视觉系统所察觉到的误差只是有限的近似关系。这就是为什么较高的PSNR值意味着重建图像对原始图像表征的更好，但却不保证观察者会喜欢重建的图像。所以，使用观察者的主观评估衡量图像品质通常是更为恰当的。主观评估是通过向典型的观察者显示典型的解压缩图像并将他们的评估结果进行平均得到的。评估可能采取绝对等级或并排对比和的形式。
§4.4常见的图像压缩算法
1. JPEG
JPEG是用于彩色和灰度静止图像的一种完善的有损/无损压缩方法。JPEG一词是联合图片专家组（Joint Photographic Experts Group）的缩写，是CCITT和ISO联合努力的结果。1987年六月开始工作，1991年产生了第一个JPEG草案。JPEG标准取得了成功并广泛用于图像压缩，特别是在网页上。
JPEG的主要压缩步骤概述如下：
1）把彩色图像从RGB转换到亮度/色度空间（灰度图像跳过这一步）。人眼对亮度的小变化很敏感，而对色度则不是那么敏感，所以色度部分可以丢弃大量数据高倍压缩，不至于过多削弱图像的总体视觉质量。这一步是可选的，但是很重要，因为算法的其余部分只单独压缩各彩色分量。如果不变换彩色空间，则3个彩色分量都不能容忍大误差，压缩效果差。
2）通过从原始图像产生低分辨率像素来实现彩色图像的下采样（downsampling。灰度图象跳过这一步）。亮度分量不做下采样。下采样可以在水平和垂直方向都用2：1的比率（所谓2h2v或“4：1：1”采样），也可以在水平方向用2：1、垂直方向用1：1（2h1v或“4：2：2”采样）。因为这是在3个分量中的两个分量上完成的，因此2h2v把图像大小降低为原始图像的1/3+(2/3) (1/4)=1/2，而2h1v则降低为原始图像的1/3+(2/3) (1/2)=2/3。因为不涉及亮度分量，因此图像质量没有明显的损失。
3）把每个彩色分量按8 8像素分组，称为数据单元。如果图像的行数或列数不是8的倍数，则复制底行和最右边一列至所需的倍数。在非交织模式，编码器先处理完第一个图像分量的所有数据单元，再处理第二个分量的数据单元，最后才是第三个分量。在交织模式，编码器先处理3个图像分量的3个左上角（#1）数据单元，而后是3个数据单元#2，如此下去。
4）对每个数据单元应用离散余弦变换（DCT），产生一个8 8频率分量的映射，表示平均像素值和组内逐渐升高的频率变化，为丢失信息的关键步骤进行数据预处理。
5）把数据单元64个频率分量中每一个都除以一个单独的量化系数（QC），再四舍五入为一个整数。这正是信息不可挽回地丢失之处。QC大损失也大，所以高频分量通常有大的QC。64个QC中每一个都是一个JPEG参数，原则上可以由用户规定。实际上，绝大多数JPEG实现都是采用JPEG标准为彩色图像亮度和色度所建议的QC表。
6）各数据单元的64个量化后的频率系数用RLE和霍夫曼码联合编码。可以选用一种算数编码的变形即QM编码器来代替霍夫曼编码。
7）最后一步添加文件头和所有用到的JPEG参数，输出结果。压缩文件可为3个格式之一：（1）交换格式，文件中有压缩图像和所有解码器需要的表(主要是量化表和霍夫曼表)；（2）图像压缩数据的缩短格式，文件中有压缩数据，没有表(或只有几个表)；（3）表规定(table specification)数据的缩短格式。文件中只有表，没有压缩图像。第2种格式归于是用一对相同的编/解码器且内建了相同的表时有意义。第3种格式用于同一个编码器用同样的表压缩了多幅图像的情形。当需要解压缩时，图像跟在表规定数据文件的后面送给解码器。
JPEG解码器执行相反的步骤（因此，JPEG是一种对称的压缩方法）。
2. WSQ指纹压缩
1924年FBI就开始以纸卡片上墨水印的形式收集指纹，今天他们已有大约2亿张卡片，占据了华盛顿特区J.Edgar Hoover大厦约一英亩的文件柜，而且，这些卡片还在以每天3-5万张新卡片的速度递增！显然，为了让这些收集品所占的空间减少，也为了具有自动搜索和分类的功能，需要对它们进行数字化。主要的问题是大小（以位计）。如果一张典型的指纹卡片以500dpi扫描，每像素8位，则数据量为10Mb。因此，数字化后收集品总的大小将超过2000TB。
因此，压缩是必须的。然而，无损图像压缩方法的压缩比是0.5。而为了减小庞大的数据量，需要约1bpp或更好的压缩。我们需要的有损压缩方法只是适度地退化图像细节，但不会在重建图像中引入人工假象。小的指纹细节如汗毛孔，在法庭上是可接纳的证据，而大多数有损图像压缩方法都涉及到小细节的丢失，因此不适用。但小波适合。如果涉及合理，有损小波压缩可以满足上述原则，进行高效压缩，保留重要的小细节或至少使这些小细节可辨识。
1993年由Bradley等人提出的WSQ（小波/标量量化）已经被FBI采纳为指纹压缩的标准，包括3个步骤：（1）离散小波变换，（2）小波变换系数的自适应标量量化，（3）量化指数的两步霍夫曼编码。
第一步是采用CDF9/7滤波器进行对称的离散小波变换（SWT）。它们是由7个和9个脉冲响应抽头的对称滤波器，具体数值如下表：
表4.4.1：WSQ采用滤波器
0
0.852698790094000
-1
0.788485616405660
1
0.377402855612650
-2，0
-0.418092273222210
2
-0.110624404418420
-3，1
-0.040689417609558
3
-0.23849465019380
-4，2
0.064538882628938
4
0.037828455506995
离散小波变换采用对称延拓，首先作用于图像的行和列，得到4 4=16个子带。然后以同样的方式将SWT运用到16个子带中的3个，将它们分别分解成16个更小的子带。最后一步是将左上角的子带分解成4个小子带，如图4.4.1。
较大的子带（51-63）包含图像的精细节和高频信息，稍后可以粗量化而不至于丢失任何重要信息（即分类和识别指纹所需的信息）。事实上，子带（60-63）全部舍弃。而子带（7-18）很重要，含有对应于指纹的脊的那部分图像频率，应当轻度量化。
64个子带中的变换系数都是浮点数，用a表示，被量化成有限个浮点数，即为 。WSQ编码器将变换系数a映射到量化索引p（一个整数，后面将被映射为一个霍夫曼码字）。可以把索引p看作一个指针，指向a所在的量化单元。WSQ解码器收到索引p后，将其映射为。与a相近但不等，因此WSQ丢失了图像信息。所有 值的集合是称为量化小波系数的浮点数的离散集。不同子带的量化要求不同，因此量化取决于一些可在子带间改变的参数。
图4.4.1：小波分解为64个频带
图4.4.2说明了子带k的量化阶的设置。参数 是零单元的宽度， 是其它单元的宽度。参数C的变化范围是[0，1]，它决定重建值 。比如，若C=0.5，则每个量化单元的重建值是单元的中心。式子(4.4.1)和(4.4.2)说明了WSQ编码器如何用参数和将变换系数[即系数在子带k的位置(m，n)]量化成索引（一个整数），以及WSQ解码器如何根据索引计算量化系数：若图片无法显示请联系QQ3710167
在FBI实际采用的标准中，C=0.44，而且根据不同子带变换系数的方差，按下面的步骤确定单元的宽度 和 ：
第1步：令子带k的宽度和高度分别为 和 。计算6个量：若图片无法显示请联系QQ3710167
第2步：假设（0,0）位于子带左上角。我们用从到的子带区域估计子带的方差：其中代表区域中的均值。
第3步：按式(4.4.3)计算参数 ：
(4.4.3)
其中q是比例常数，控制单元的宽度 ，从而控制整个压缩级。常数 的值为：注意，子带60-63的单元宽度为零。因此，这些包含最精细细节系数的子带被舍弃。
第4步，设零单元的宽度为 =1.2 。
图4.4.2 WSQ标量量化
WSQ编码器计算量化索引 ，然后将它们映射成254个码字（见表4.4.2）。这些值用霍夫曼码字编码（两次通过），然后将这些霍夫曼码字写入压缩流。量化索引可以是任意整数，但大都比较小，还有许多为零。因此表4.4.2中的码字分成3组：第1组由100个码字（从1到100）构成，用于索引游程为1到100个零；第2组码字从107到254，规定[-73，+74]区间的小的索引；第3组为6个转义码字（101到106），用于指示大的索引或超过100个零的游程索引。因为确有单个零的游程，因此不使用码字180[对应于索引=0]。转义码后面是（8位或16位的）索引原始值。
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表4.4.2量化索引和游程的WSQ码字
码字
索引或游程
码字
索引或游程
1
游程为1个零
107
索引值-73
2
游程为2个零
108
索引值-72
3
游程为3个零
109
索引值-71
…
…
100
游程为100个零
179
索引值－1
101
正8位索引的转义码
180
未用
102
负8位索引的转义码
181
索引值1
103
正16位索引的转义码
…
104
负16位索引的转义码
253
索引值73
105
零游程的转义码,8位
254
索引值73
106
零游程的转义码,16位
若图片无法显示请联系QQ3710167最后一步是准备霍夫曼表。它们与图像有关，因此必须写入压缩流。FBI所采纳的标准规定应把子带分成3组，同一组的所有子带用同一个霍夫曼表。它简化了图像的渐进传输。第1组由低频和中频子带0-18构成。第2组和第3组分别包含高通细节子带19-51和52-59，而60-63被完全丢弃了。要准备两个霍夫曼表：一个用于第1组，另一个则为第2组和第3组准备。
通过统计表4.4.2中254个码字分别在组中各块出现的次数，可以得到霍夫曼码表。我们用统计结果来决定每个码字的长度，并构造霍夫曼码树。这需要通过两次（一次决定码表，另一次编码），与JPEG所用的霍夫曼代码的构造方式类似。
1. EZW-嵌入式零数小波编码
EZW的全称是“embedded coding using zerotrees of wavelet coefficients”（用小波系数的零树进行嵌入式编码）。对图像进行二维小波变换之后，各子带之间的数据可以看成是一个树状的结构，如图4.4.3所示，各子带之间的箭头表示各频带之间的父-子依赖关系。树结构的意义在于，在由同一方向和相同空间位置上的所有小波系数组成的小波树中，各级分解子带中存在很大的相似性。实验表明：如果在粗尺度下（即图像分解的高层）小波系数相对于给定阈值T来说不显著，则在较细尺度（即图像分解的较低层）下的同一个空间位置上，相同方向的所有小波系数相对于T来说都很可能不显著。
LL3
HL3
HL2
HL1
LH3
HH3
LH2
HH2
LH1
HH1
图4.4.3：小波分解的系数对应关系
对于一个阈值T，若小波系数x满足 ，则称x关于T是重要的系数；若小波系数x满足 ，则称x关于T是不重要的系数；若x是不重要的系数，并且它的所有子孙都是不重要的，则称x是关于T的零树根；如果x本身是不重要的系数，但它存在重要的子孙，则称x是关于T的孤立零点。对于给定的预制，EZW算法按照图4.4.4所示的扫描顺序依次处理小波系数。这可以保证当访问一个节点时，它的所有父节点都已经扫描过了。扫描从最低频率子带开始，依次扫描，和，然后来到第n-1层，再扫描，和。在算法进行到下一个子带之前，对每个子带都进行了充分的扫描。
EZW算法通过多遍扫描编码图像，其中每一遍扫描包含以下的处理步骤：
1.选择阈值
对于L级小波变换，EZW算法应用一系列的阈值，，…来确定小波系数的重要性，其中，i为扫描次数。
初始阈值的选择方法如下
其中 是L级小波变换的变换系数，表示 的绝对值。
2.主扫描
按照图4.4.4所示的扫描次序，将小波系数与阈值 进行比较，输出下列符号表示已处理的元素：
P：正的重要系数（显著系数）
N：负的重要系数
T：零树根
Z：孤立零点
LL3
HL3
HL2
HL1
LH3
HH3
LH2
HH2
LH1
HH1
图4.4.4：系数扫描顺序
在扫描过程中，用一个主扫描表记录这些输出符号。第i次主扫描结束后，将输出符号为P或N的系数的相应位置加标记或将这些系数置为零，以免在下次主扫描时再对它们编码。
3.辅扫描
对主扫描表进行顺序扫描，对其中输出符号为P或N的小波系数进行量化。在量化系数之前需要构造量化器。量化器的输入间隔为，将其等分成两个量化区间，。若小波系数的输入区间属于区间，则输出量化符号“0”，重构值为1.25；若小波系数属于区间，则输出量化符号“1”，重构值为1.75。输出的符号“0”或“1”由一个辅扫描表记录。
4.重新排序
为便于设置第i+1次扫描所用的量化间隔，以提高解码的精度，对输出符号为P或N的数据重新排序。具体方法是，将幅值在中的数据排在幅值位于 中的数据之前。
5．输出编码信号
编码器输出两类信息：一类是给解码器的信息，包括阈值、主扫描表和辅扫描表；第二类是用于下次扫描的信息，包括阈值及第4步中重新排序过的重要系数序列。
小波系数编码的流程图如图4.4.5所示。
若图片无法显示请联系QQ3710167
图4.4.5 小波系数编码流程图
§4.5基于小波树结构的矢量量化压缩算法
矢量量化是标量量化的推广，并且总是能取得优于标量量化的性能，它的操作过程主要分成：码书的产生（codebook generation）、编码（encoding）、解码（decoding）这三个步骤。通常来说，码书的产生都是在之前建立好的（off-line），而等到实际上要做时就能让编码端和解码端使用。
矢量量化编码的基本做法是将原图像切割成许多大小相同的小方格，并把它视为一个矢量。例如一张512 512的图像，可以把它切成128 128个4 4的区域。一个矢量包含的元素的个数为它的维数。
码书在矢量量化算法中扮演十分重要的角色，LBG算法是一种十分重要的码书生成方式。本文采用LBG算法生成码书，其具体步骤如下：
⑴ 给定初始码书并置k=0，设起始平均值失真，给定计算停止门限（1>>0）。
⑵ 根据最近邻域原则，利用码书中的码字把训练序列TS={}划分为N个胞腔，即
⑶ 计算平均失真与相对失真。平均失真即为其中；r=1,…,M，距离一般取为平方Euclid的距离。相对失真为若，则停止计算，当前码书即为设计好的最终码书，否则进行第⑷步。
⑷ 计算⑵中得到的各个胞腔的形心，以这N个形心构成码书 ，并置k=k+1，返回第⑵步。
其中，胞腔S的形心Y由下式给出
这里， 表示S中所含元素的个数。 索引
图4.5.1：矢量量化编码流程图
本文采取小波分解与矢量量化结合的方式，先对图像做4层小波分解，如图所示：LL3单独编码；HL3中的每一个像素和其对应的子孙：HL2种的4个像素、HL1中的16个像素一起组成一个21维的矢量；同样LH3 中每一个像素和其对应的子孙：LH2种的4个像素、LH1中的16个像素一起组成一个21维的矢量；而HH3 中的每个像素和HH2中对应的4个孩子组成一个5维的矢量；而HH1可以完全放弃。
本文的主要研究对象是指纹图像。由于指纹图像的统计特性相似，分解后小波树也相似，所以可以采用多幅图像进行训练，得到通用的全局码书。这样的码书可以用于多幅图像，可以克服局部码书的缺点。采用LBG算法生成码书，并采用分裂法生成初始码书，在分裂的时候充分考虑到小波树结构的特点。因为人眼视觉特性对低频信息敏感，对高频信息不敏感，所以，分裂时对矢量的每个分量乘以不同的分裂因子，低频系数乘以大的分裂因子，高频系数乘以相对小的分裂因子，这样可以得到更加适合小波树结构的矢量，从而有望得到更好的效果。而在码书搜索的时候也充分考虑到小波分解的特性，首先考虑第一个分量，即矢量中最低频的系数，再考虑下面的4个次低频系数，最后再考虑剩下的系数。
LL3
HL3
HL2
HL1
LH3
HH3
LH2
HH2
LH1
HH1
图4.5.2：小波分解的矢量分割
现在考虑一幅256×256的8位灰度图像，设计码书大小N＝2048，即每个码书采用11位表示，不考虑LL1部分的压缩和之后的熵编码，压缩前所占比特数为256×256×8，压缩后的比特数为32×32×3×11＋32*32*8＝41984，计算得压缩比R约等于12.5：1。当然，如果考虑熵编码和LL1部分的编码，则可以得到更大的压缩比。下面给出分裂法与LGB算法生成码书的具体过程：
步骤1：计算所有训练90；第六至第二十一个分量可取0.6。
步骤3：以和为初始码字，用LBG算法设计仅含2个码字的码书。
步骤4：将码书中的两个码字和分别乘以何时的参数矢量，得到4个码字
步骤5：以这4个码书为初始码字，用LBG算法设计仅含4个码字的码书，再对设计好的4个码字乘以适当参数进一步扩大码字庶母。如此反复，经过 次设计，就可得到所要求的含N个码字的初始码书。
步骤6：对N个码字的初始码书采用LBG算法训练，即可得到所需要的码书。
在编码可以在一个区间上搜索码字，节省搜索时间；然后对后面的20个分量采取加权的误差来衡量。这样充分考虑了小波分解的特性，极大的提高了效率。
下面我们采用8幅256×256的8位的BMP指纹图像，生成两个全局码书。实验结果表明得到的重构图像质量较好。
小波变换及在图像压缩中的应用
图4.5.3：原图像 若图片无法显示请联系QQ3710167 图4.5.4：恢复图像
§4.6小结
本章主要介绍了图像编码的基本知识，介绍了几种常见的图像压缩算法：JPEG、WSQ、EZW。最后采取小波变换与矢量量化结合，用多幅图像作为训练集产生全局码书。用分裂法产生初始码书，用LBG算法进行训练。在分裂法产生初始码书的过程中充分考虑小波分解的特性，采用合适的参数进行分裂，并在编码搜索码字的时候考虑人眼对低频部分敏感而对高频部分不敏感，首先考虑矢量第一个分量，然后剩下的分量采取误差加权的形式，这样在一定程度上可以保证重要的低频部分误差得到控制。
第五章 总结与展望
目前，小波分析的应用范围很广，遍布自然科学、应用科学的许多方面，乃至社会经济领域也见到小波的应用。数据压缩是伴随小波分析诞生的最早应用领域，由此带来巨大的经济效益和社会效益。基于小波变换的WSQ算法已经成为美国FBI指纹压缩的标准，而JPEG2000标准的推出也是小波在图像压缩应用的一个突破。
本文介绍了小波的基本理论，如连续小波的理论、多分辨分析、双正交多分辨分析，得出了一些比较有意义的结论。讨论了连续小波变换的定义，比较分析了几种不同的连续小波的定义；提出了一种构造基小波的方法；证明了尺度函数和多分辨分析产生的小波是基小波；探讨了图形显示算法，用具体的例子实现了一维情形的图形显示算法。
研究了图像压缩中小波滤波器选取的原则，介绍了矩阵法构造小波滤波器的方法，总结研究了其前提条件，使得我们可以在一定程度上确定小波滤波器是否存在，以此构造出几个小波；对各种小波滤波器的性能进行了仿真分析。
最后讨论了WSQ等几种常见的图像压缩算法；采取小波树结构与矢量量化结合的压缩方法，结合人眼视觉特性，充分考虑人眼对低频系数敏感而对高频系数不敏感，在分裂法产生初始码书的过程用合适的参数进行分裂，在码字匹配的时候采用误差加权的方式，使得低频信息的误差得到控制，得到较好的重构图像。
由于时间和水平限制，论文工作还存在很多有待进一步改进和完善的地方。对于小波树结构的矢量量化压缩算法，对于如何产生更适合的码书，使得码字的利用率更高，这是值得进一步研究的课题。
参考文献
[1] 李弼程,罗建书.小波分析及其应用[M].电子工业出版社,2003.
[2] Rafael C. Gonzalez, Richard E. Woods(阮秋琦等译).数字图像处理[M].电子工业出版社，2004.
[3] David Salomon(吴乐南等译).数据压缩原理与应用(第二版）[M].电子工业出版社，2003.
[4] 崔锦泰(程正兴译).小波分析导论[M]. 西安交通大学出版社，1995.
[5] 孙延奎. 小波分析及其应用[M]. 机械工业出版社，2005.
[6] Albert Boggess(芮国胜等译).小波与傅立叶分析基础[M]. 电子工业出版社，2004.
[7] 成礼智,郭汉伟.小波与离散变换理论及工程实践[M].清华大学出版社，2005.
[8] 丁宣浩等.Hilbert空间中的框架与Riesz基[J].桂林电子工业学院学报, 2005, 25(3).
[9] 彭玉华.小波变换与工程应用[M].北京:科学出版社,1999.
[10] 刘贵忠,邸双良.小波分析及其应用[M].西安:西安科技大学出版社,1992.
[11] 陈广生,丁宣浩,孙建明.三种具体信号的连续小波变换[J]. 桂林电子工业学院学报,2003,23(5).
[12] Mallat S, Zhong S. Characterization of Signal from Multiscale Edges[J]. IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1992, 14 (7) : 710～732.
[13] Mallat S. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation[J]. IEEE Trans. on Pattern Anal. and Mach. Intell.,1989, 11(7): 674-693.
[14] 杨宗凯. 小波去噪及其在信号检测中的应用[J].华中理工大学学报, 1997,25(2).
[15] 林京，屈梁生. 基于连续小波变换的信号检测技术与故障诊断[J].机械工程学报， 2000,36(12).
[16] 何岭松,李巍华.用Morlet小波进行包络检波分析[J].振动工程学报， 2002,15(1).
[17] 程正兴.小波分析算法与应用[M].西安交通大学出版社，1998.
[18] 成礼智,王红霞,罗永.小波的理论与应用[M].科学出版社,2004.
[19] 胡昌华等. 基于Matlab 6.x的系统分析与设计--小波分析[M].西安电子科技大学出版社,2004.
[20] 唐远炎，王玲.小波分析与文本文字识别[M].科学出版社，2004.
[21] S. Mallat. A Wavelet Tour of Signal Processing[M].China Machine press, 2003
[22] 孙利军,何正嘉.小波图形显示算法在非平稳信号分析中的应用[J].光电技术应用,2004,19(4).
[23] 荆双喜,孟国营,方佳雨.基于图形显示算法的小波变换在机械故障诊断中的应用研究[J].中国机械工程,2000,11(12).
[24] 覃太贵,张学英,羿旭明.小波变换在信号奇异性检测中的应用[J].数学杂志, 2004,24(3).
[26] Guoqiu Wang. Martrix methods of constructing wavelets filters and discrete hyper-wavelet transforms [J]. Optical Engineering, 2000, 39(4).
[27] 王国秋, 袁卫卫. 一般的9-7滤波器及其图像压缩性能研究[J] .电子学报, Vol.29, No.1, 2001.
[28] J . D. Villasenor. Wavelet filter evaluation for image compression [J ] . IEEE Trans. On Image Procesing ,1995 ,4(8) :1053 - 1059.
[29] T. Hooper and F. Preston, Compression of grey-scale fingerprint images[J].in Proceedings Data Compression Conference, Snowbird, UT, March 1992, pp.309-318, IEEE Computer Society.
[30] I. Daubechies. Ten Lectures on Wavelets[M]. CBMS – Conference Lecture Notes, 61, SIAM Philadelphia, 1992.
[31] 孙圣和，陆哲明.适量量化技术及应用[M].科学出版社，2002.
[32] 杨长生.图像与声音压缩技术[M].浙江大学出版社，2000.
[33] David S.Taubman(魏江力等译).JPEG2000图像压缩基础、标准和实践[M].电子工业出版社，2004.
[34] 冯象初，甘小冰，宋国乡.数值泛函于小波理论[M].西安电子科技大学出版社，2003.
[35] Jerome M. Shapiro.Embedded Image Coding Using Zerotrees of Wavelet Coefficient[J].IEEE Transcations on Signal Processing,1993,41(12).
[36] J. D. Villasenor, B. Belzer, J. Liao. Wavelet Filter Evaluation for Image Comperssion[J]. IEEE Transcations on Signal Processing,1995,4(8).
[37] M. Antonini, M. Barlaud, P. Mathieu, I. Daubechies. Image Coding Using Wavelet Transform[J]. IEEE Transcations on Signal Processing,1992,1(2).
[38] C.M.Brislawn, J.N.Bradley, R.J.Onyshczak, T.Hooper.The FBI compression standard for digitized fingerprint images[J].
[39] WSQ Gray-Scale Fingerprint Image Compression Specification,
IAFIS-IC-0110v2, Fed. Bureau of Investing, Feb.1993. Drafted by T.Hopper, C.Brislawn, and J. Bradley.
[40] J.N.Bradley, C.M.Brislawn.The Wavelet/Scalar Quantization Compression Standard for Digital Fingerprint Images[J].SPIE
[41] 闫敬文,孙辉,张圣华.小波树结构快速矢量量化编码方法[J]. 中国图象图形学报,1997,2(12).
[42] 徐可斌,姜文利,柯有安.基于小波变换的图像矢量量化方法[J]. 北京理工大学学报,1997,17(16).
[43] 王磊,戚飞虎.基于双正交小波的快速矢量量化算法[J].上海交通大学学报, 1998,32(6).
[44] 袁卫卫,王国秋,沙基昌.一种新型的量化方法与基于小波变换的指纹图像压缩[J].小型微型计算机系统,1998,19(2).
[45] 袁卫卫,王国秋.混合量化与基于小波的图像压缩[J].国防科技大学学报,19 (4) :77 - 80.
[46] P.C.Cosman,R.M. Gray, M.Vetterli. Vector quantization of Image subbands:a survey[J]. IEEE Trans. Image Proc.,1996,5(2),202-225.
致 谢
本篇论文的研究工作是在我的导师丁教授的悉心指导下完成的。在攻读硕士学位期间，导师提供了宽松的学术研究环境，同时以他渊博的学识和循循善诱的启发，开拓了我的思路，培养了我的科研能力。丁老师严谨的治学态度和一丝不苟的工作作风以及平易近人的学者风范将使我终身受益。在生活方面，丁老师也给予我极大的关心和帮助，在此，致以最崇高的敬意和最衷心的感谢。
在三年中，我还得到了计算科学与数学系其它的老师和同学的关心和帮助，再此一并感谢。
最后，感谢我的家人，他们为我的生活和学习付出了巨大的心血，感谢他们给予我真挚的爱和永恒的支持！
作者在攻读硕士学位期间主要的研究成果
1. 小波滤波器的构造及其在图像压缩中的应用，漳州师范学院学报，2006，19(1)
2. 有关连续小波变换的注记，广西科学院学报已录用
