不解等式证明和求解的方法
众所周知，不等式是数学中不可缺少的工具之一.有许多不等式在数学研究中有着重的作用,它对于不同类型的不等式,所运用的原理及方法也不一样.灵活、巧妙地选择证明方法可以让学生在证题中达到事半功倍的效果.本文主要是通过利用函数的性质、微分学、积分学的知识来探究不等式的证明方法，进而介绍了它们在不等式证明中的一些具体应用，如在构造函数的背景下运用函数的单调性、函数的极值和最值、微分中值定理、定积分，从而达到有效地解决不等式中的证明问题.此外本文还简单地介绍了证明不等式的其它方法，如用幂级数、二次三项式、一些著名的不等式.1. 利用函数的性质证明不等式
1.1 用函数的单调性证明不等式
（1）函数的单调递增和单调递减
若当 时, （或当 时， ）则称函数 在闭区间 上单调递增(或单调递减),则当 时, (或对应地当 , ).
（2）函数单调递增和单调递减的充分条件：若函数 在闭区间 上是连续的，并且在其是有正的（或负的）导函数 ，则函数 在 上单调递增（或单调递减）.
小结 此证法多用于证明具体函数的不等式，证法的步骤是：
（１） 作辅助函数 :一般取不等号两端的函数之差或之商为辅助函数;
（２） 求 的导数 ，并确定其在区间上的符号；
（３） 判定 单调递增还是单调递减；
（４） 求出 在两端点之一处的函数值或极值（一般必有一个端点函数值或极限值为零，或其符号确定）；
（５） 用单调性定义证明所需证明的不等式.
例1 证明不等式：当 时，
. 解：下用函数的单调性证之.为此先作变量代换，令 .于是归结证明：当 时，有 .
令 ，则 .下证 时有 .
因
，
显然当 时，有 .因而 上的单调增加函数.而 ，故 时有 ,即
，亦即 时有 .
1.2 用极值证明不等式
定义：若函数 在点 的某领域 内对一切 有
则称函数在点 取得极大（小）值，极大值、极小值统称为极值.
(1) 用自由极值证明不等式
要点 若求得 在区域 上的最大、最小值分别等于 和 ，那么我们实际上获得了不等式
(当 ).
反之，要证明关于函数 、 的不等式
(当 ),
只须证明函数 在 上的最大值（或上确界） ），或 的最小值（或下确界） .
例2 求证
.
证 在区域 的边界上恒为0，而区域内部 .故 的最大值只能在内部达到.
.
.
令 ，在 内求稳定点，得
即 , （1）
及 即 . （2）
这表明 在 内的最大值点应满足方程（1）、（2）.然而在（1）、（2）所确定的点上
.
所以 ,当 时.
(2) 用条件极值证明不等式
要点 若求得 在条件 之下的最大值为 ，那么我们就获得了不等式
( ) .
例3求 时,函数 在球面 上的极大值.证明a、b、c为正实数时
. (1)
解 设
令 ,解得x=r,y= r,z= r .
因为 在球面 位于第一卦限的部分上连续，在这部分的边界线上， 分别为0. 为负无穷大，故 的最大值只能在这部分内部达到.而( )是唯一的可疑点，所以 最大值 于是
,
故 .
两边同时平方，并用 代入便得欲证的不等式.147
不解等式证明和求解的方法
用单调极限证明不等式
要点 若 时， ↗（或严↗）,且 时 [以上条件今后简记作 ↗(或 严↗ )，当 时，则 (当 时) [或 (当 时)] 对于递减或严格递减，也有类似结论.利用这一原理可以证明一些不等式.
例 4证明： 时
.
证 当 或 时，不等式自明.只须证明 的情况.为此，只须证 ↗ 时， ↗ 即可.事实上：
（1）当 时，
)
(应用Lagrange公式)
〔当 时, ,当 时， .〕
（2）
故 ↗ 时， ↗ .证毕
1.4 用函数的凸凹性证明不等式
设曲线 在区间 上处处有切线，若曲线上每一点都在切线的上方则称曲线在 上是凹的，若曲线上每一点都在切线的下方，则称曲线在 上是凸的.
在高等数学中常把曲线（函数图形）是凹的函数称为凸函数，而把曲线(函数图形)是的凸函数称为凹函数.
值得注意的是凸、凹函数的曲线(函数图形)的凹、凸性正好与凸函数、凹函数的凸、凹名称正好相反.
凸函数与凹函数也可如下定义：对 ，
若总有 ，则 在 内是凸函数；
若总有 ，则 在 内是凹函数；
常由函数 在区间 上的二阶导数 的符号，判定函数曲线的凸凹性：
若在该区间 上 (或 )，则曲线 在 上是凹的（或凸的）.
因而在 内，若 ，则函数 的图形在 内是凹的（如右图），位于区间[ ]中点 处弦的纵坐标不小于曲线的纵坐标，即有
（1）
其中 为 内任两点，等号仅在 时成立.
同样，若 ,则有
（等号仅在x 时成立）. （2）
由上两式可知：若所证不等式为二元不等式，且其一（两）端为两点处的函数值的平均值或（和）为两点处中点的函数值，就可试用以上两式证之.
例5 证明 ( ).
证：所证不等式右端出现 、 两点处中点 的函数值 .因而可试用（1）证之.事实上将所证不等式两端除以2，变形为
显然左端为函数 在 、 两点处的函数值 .如能证 在(0, )上为凸函数，或其曲线是凹的，则所证不等式成立.
事实上 .由（1）式，得到
2. 用微分学证明不等式
2.1 用拉格朗日中值定理证明不等式
(拉格朗是中值定理) 若 函数满足下条件：
（1） 在闭区间 上连续；
（2） 在开区间 上可导；
则在 内至少存在一点 ，使得
所证不等式一边（单向不等式）或中间部分（双向不等式）为或可公为有限增量 的形式，则可用该定理证之，且证明构造的辅助函数就是 .将等式
右端进行适当放大或（和）缩小，去掉含 的项，即可得到所要证的不等式.这里的关键在于找到合适的函当选 与选取恰当的区间 .
此证法是证明区间上成立的函数不等式用得较多的方法，它既可证明具体函数不等式，也可证明抽象函数不等式.
用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤:
(1)设辅助函数 ，并确定 施用拉格朗日中值定理的区间 ;
(2) 对 在 上施用拉格朗日中值定理;
(3) 利用 与 之关系,对拉格朗日公式进行加强不等式.
例6 证明当 时，
分析 注意到 ，可构造函数的改变量 ，则相应自变量的改变量为 ，所证不等式等价于
可考虑用拉格朗日中值定理证明.
证 令 ，易知 在 上可导，由拉格朗日中值定理，存在 使
.
由 及 可得
即
例7．证明： .
证：令 ,则 ,相当于 ,不等式可写成
.
令 .因 ，故问题在于证明
( 时).
用 乘之，问题化为证明
因 ,只须证明
(当 时).
但 (当 时)，故此 .
2.2 用泰勒公式证明不等式
泰勒公式：若函数 在 上存在直至连续 阶连续导函数，在 内存在 阶导函数，则 至少存在一点 使得
当 时，该公式称为马克林公式，即：
.
由泰勒公式的结构知,一般在不等中出现高阶导数及其在某点的数值或已知函数的上、下界；或在某些点的函数值已知时，可考虑用泰勒公式证之.
确定用泰勒公式后，下一步是选择展开点.一般在出现函数值或导数值的点上展开，且展成比题中出现的导数最高阶数低一阶的泰勒展开式，然后利用题设中的高阶导数的大小或其界对展开式放缩，证明欲证的不等式.
例8．设当
证：由一阶泰勒公式，对于
<
上式右端 当时达到了最大值4，故有
2.3 用柯西中值定理证明不等式
（柯西中值定理）若函数 和 满足下条件：
（1） 在 上连续；
（2） 在 可导；
（3） 和 不同时为零；
（4） .
则存在一点 ，使得
所证不等式为（或可化为）形如
或
的不等式，即为或可化为两不同类型函数的差值比，可试用柯西中值定理证之.
特别当 时，为证 ，只需证
.即证
例9 证明不等式
.
证 注意到 , ，因为 ，所证不等式可化为两不同类型函数的差值比的不等式
，即 .
于是令 .显然它们在 上满足柯西中值定理之条件，故存在 ，其中 ，使
.
不解等式证明和求解的方法
即有 .
当 时， ，因而得到
.
注意 （1）若忽略 这一条件可能会造成把区间选成 的错误.
（2）若由定理直接得 这是错误的.错在等号不能直接得出.因为 ，这里没等号，因此等号必须单独验证.
例 10 证明不等式
) .
证明 令 , .归结证明 注意到 利用柯西中值定理有
.
下证
因 ，故 ，
从而 ，
即 .
2.4 用导数的定义（或可导的充要条件）证明不等式
定义：设函数 在点 的某邻域内有定义，若极限 存在，则称函数 在 处可导，并称该极限为函数 在点 处的导数，记为 .
例11 证明下述命题：
命题 设函数 在上连续，在 内可导，若 在 上单调增加（减少），证明：（减少），证明： , .
证：设 在 上单调增加，则 、 ，当 时,有 ，于是有
; ,
故 ；
，
因 在 内可导，故 ，所以
.
在 上单调减少时，同法可证 .
2.5 用导数的大小即利用不等式定理证不等式
不等式定理：如果
1） 、 在 内有 阶导数；
2） ；
3） ，且 时， [或 ]，则当 时，
[或 ].
不等式定理是利用导数大小证明不等式的依据值得注意的是要满足定理中初始值相等： 这一条件，否则结论不一定成立.
例12 证明不等式 .
证明 令 ，则
.
因为 ，所以
而 故当 时，有
即 .
3. 用积分学证明不等式
本节讨论的是利用积分学知识来研究一些证明不等式的方法，这些方法主要适用于证明那些含有积分的不等式.
3.1 用定积分定义证明不等式
定积分的定义：
定义1 设闭区间 内有 个点，依次为
，
它们把 分成 个小区间 这些分点或这些闭区间构成对 的一个分割，记为
或 .
小区间 的长度为 ，并记
，
称为分割 的模.
定义2 设 是定义在 上的一个函数,对于 的一个分割 ,任取点 并作和式
.
称此和式为函数在 上的一个积分和，也称黎曼和.
定义3 设 是定义在 上的一个函数, 是一个确定的实数.若对任给的正数 ，总存在某一正数 ，使得对 的任何分割 ，以及在其上任意选取的点集 ，只要 ，就有
，
则称函数 在 上可积或黎曼可积；数J称为 在 上的定积分或黎曼积分，记作
.
例13 设 在 上连续,且单调减少.证明当 时, .
证明 因为 在 上连续,故在 上可积,因而在 上可积, 将分成 等份,且取各区间的右端点 为 ,则
.
又将 分成 等份,取各区间的右端点,则 ,则
因而 .
因 在 内单调减少,由 ,得到 .于是当 时,有
= .
3.2 用定积分的几何意义证明不等式
定积分的几何意义：对于 上的连续函数 ，当 ， 时，定积分 的几何意义就是该曲边梯形的面积；当 ， 时，这时 是位于 轴下方的曲边梯形面积的相反数，不妨称这为“负面积”；对于一般非定号的 而言（图一），定积分 的值则是曲线 在轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和.
例14 设 是 上单调增加的连续函数, , ,又 是它的反函数.试用定积分的几何意义说明:对任意的 ,
总有
,
并进一步指出等号成立的条件.
证明：若 ，结论显然成立，故设 .
（1）当 时，如图二所示，由定积分的几何意义，有
=曲边梯形 的面积+曲边梯形 的面积
=矩形 的面积= .
（2）当 时，如图三所示，由定积分的几何意义有
[ ]+曲边梯形 的面积
> +矩形 的面积= .
(3) 时,如图四所示.由定积分的几何意义,有
=
= +曲边梯形 的面积
> +矩形 的面积= = .
由(1)知, 需要完整内容的请联系QQ3710167时,所证的不等式中等号成立.Young不等式
