Bayes公式在决策中的应用摘 要:利用两个案例,说明概率这门学科在决策中的作用.关键词:概率 Bayes 定理(公式)中图分类号:O211.1 文献标识码:A 文章编号:1009-1939(2006)05-0074-02yh 在概率计算中,我们常常遇到这样的一类问题,某事件的发生可能依赖于多种原因,对这样的事件直接求规律往往是无能为力的,例如,某产品是由几个厂家生产的,由于各个厂家生产的产品质量不一样,这时我们从中任取一件产品是次品这个事件就依赖于这个产品是哪个厂家的,也就是说该事件的概率与总产品中各厂产品所占比例及每个厂的次品率有关.对于这一类事件的概率如何计算,我们介绍下面的全概率公式.例如,在医疗诊断中,为了诊断出现症状B的患者,到底患了疾病A1,A2,…,An中的哪一种,可用Bayes公式算出在症状B的情况下,起因于疾病Ai的概率P(Ai| B),而后按各个后验概率P(Ai| B)的大小来推断患者患哪种病的可能性最大.定义 设S为试验E的样本空间,A1,A2,…,An为E的一组事件.若满足(1)Ai,Aj两两互斥,i≠j,(i,j =1,2,…,n)(2)∪ni=1Ai= S则称A1,A2,…,An为样本空间S的一个有限划分.(一般地,划分可用来表示按某种信息分成的不同情况的总和,若划分越细,则相应的信息更详尽.)定理1(全概率公式) 设A1,A2,…,An为样本空间S的一个划分,且P(Ai) >0,(i =1,2,…,n),则对S中的任一事件B,有P(B) =∑ni=1P(Ai)P(B | Ai)如果我们把Ai看成是导致事件B发生的各种可能“原因”,那么,全概率公式告诉我们,事件B发生的概率恰好是事件B在这些“原因”下发生的条件概率的加权平均,其中的权重分别为P(Ai).而已知“结果”找“原因”的问题则可以用Bayes公式来计算.且告诉我们“Ai导致B”的可能性的大小恰与乘积P(Ai)P(Ai| B)成比例.例1.若发报台分别以0.7和0.3的概率发出信号“.”和“-”,由于受到干扰,当发出“.”时,收报台未必收到“.”,而是分别以概率0.8和0.2受到信号“.”和“-”;同样当发报台发出信号“-”时,收报台分别以概率0.9和0.1受到信号“-”和“.”.求收到信号是“.”的概率.解:设A0表示{发信号“.”},A1表示{发信号“-”},B表示{收信号“.”}由题意知,P(A0) =0.7,P(A1) =0.3P(B | A0) =0.8,P(B | A1) =0.1.利用全概率公式有P(B)=P(A0)P(B| A0)+P(A1)P(B| A1)=0.70×0.8+0.3×0.1=0.59.对这个问题,我们自然会提出这样的问题,若收yh收稿日期:2006-08-12作者简介:纪利霞(1976-),女,山西怀仁人,研究生,讲师.研究方向:基础数学和信息技术教学.信号是“.”,问发报台发出的“.”信号的概率多大.为此,下面我们介绍一下解决此问题的Bayes公式.定理2(Bayes公式) 设A1,A2,…,An为样本空间S的一个有限划分,且P(Ai) >0,(i =1,2,…,n),又设B为一事件,满足P(B) >0,则P(Aj| B)=P(Aj)P(B| Aj)∑ni=1P(Ai)P(B| Ai)(j=1,2…,n)由Bayes公式容易得到在收报台收到“.”的条件下,发报台发出信号“.”的概率为P(A0| B) =P(B | A0)P(A0)P(B)=0.8×0.70.59≈0.949例2.有一个地区.男孩与女孩的出生比率假定为85:15,假定人们是通过统计得到这个数据的.医院通过B超可以确定孕妇所怀的是男孩还是女孩.我们假定某个医院里的A医生因水平有限,确定孕妇所怀婴儿的性别的准确率为80%.有一天有一个孕妇到该医院进行B超,A医生说,该孕妇所怀的是女孩.根据医生的判断,该孕妇怀男孩的可能性大还是怀女孩的可能性大?我们用Bayes定理来分析:在该孕妇去医院之前,我们认为它生男孩的可能性为0.85,女孩的可能性为0.15.这两个概率值为先验概率.当孕妇去了医院后,我们可以根据医生结论来修正对该孕妇生男孩和生女孩的可能性(概率).如果医生判断的准确率是100%,那末,医生说生女孩,生女孩的可能性就是1.但在这里,由于医生判断的准确率不是100%,而是80%.所以我们要根据医生的结论利用Bayes定理来修正我们的信念.我们对事件h、e的先验概率为p(h),p(e),随着事件e的发生,此时我们对事件h的验后概率p(h | e)应当为多少.Bayes公式是这样的:p(h | e) =p(h)p(e | h)p(h)p(e | h)+p(-h)p(e |-h)上式中,h和e为两个事件;p(h | e)为e发生时h发生的可能性;p(e| h)为h发生时e发生的可能性;p(-h | e)为e发生时h不发生的可能性.我们这里要求的是,当“医生说该孕妇怀女孩的条件下”怀女孩的可能性为多大?该孕妇未去医院前,她生女孩的先验概率为p(g) =0.15;生男孩的先验概率为p(b)=0.85.而医生的准确率为80%,即当孕妇怀女孩时,医生说成女孩的可能性为0.8,即p(dg| g)=0.8,医生说成男孩的可能性0.2,即p(db | g) =0.2.根据定理,p(g | dg)为:p(g|dg)=p(dg| g)p(g)[p(dg| g)p(g)+p(db | g)p(b)]=0.80*0.15(0.80*0.15+0.2*0.85)=0.413.p(b | dg) =1-0.413=0.587.结论是:当医生说该孕妇所怀的是女孩时,该孕妇怀女孩的可能性为41.3%,怀男孩的可能性为58.7%.即此时,该孕妇怀男孩的可能性大于怀女孩的可能性.由以上的例子,我们可以得知,概率与我们的生存、生活是密不可分的,在我们的生活中要想使我们的期望效用最大化,我们必须考虑各种客观条件的存在,用理性的科学的思维去判断问题、分析问题,最终做出正确的决策.参考文献[1]潘天群.博弈思维[M].北京:北京大学出版社,2005.[2]党景柏,贺兴时.概率统计及其应用程序[M].西安:陕西科学技术出版社,1994.On the Applying of Bayes in Our Practice LifeJI Li-xia(Department of Mathematics,Shanxi Datong University,Datong shanxi,037009)Abstract:This thesis introduced the importance of Bayes of the probability subject in making a strategic decision through two ex-ample.Key words:decision,Bayes,probability·75·第5期 纪利霞:例说Bayes公式在决策中的应用220
