数学教学改革初探

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数学教学是传授知识与提高素质的统一体,数学的教学改革应该是推动这两方面的有机结合和相互促进,而不是互相隔离,甚至对立。为此,必须首先考虑下面两个相当基本、然而又十分重要的问题:1.为什么要学数学?学了数学有什么用?2.为什么要对数学教学进行改革?应该怎样进行改革?第一个问题涉及数学教学对一个学生的培养、成长与成才究竟是否必要,究竟有多大作用;涉及对数学教学究竟应该提出怎样的要求。答案似乎不言而喻。长期以来,在人们认识世界和改造世界的过程中,数学作为一种精确的语言和一个有力的工具一直发挥着举足轻重的作用。尤其在当代,数学作为经济建设的重要武器,作为各门科学的重要基础,作为人类文明的重要支柱,在很多领域中已起着关键性、甚至决定性的作用,数学技术已成为高技术的突出标志和不可或缺的组成部分,数学的影响和作用可以说是无处不在,其重要性也已为越来越多的人所认同。因此,不仅在中、小学,而且在大学几乎所有的系科中,数学都理所当然地成为最重要的必修课程之一。

但是,学习数学的目的就仅仅在于得到一大堆定理、公式和结论,懂得各种各样的数学方法和手段吗?如果将数学教学仅仅看成是知识的传授(特别是那种照本宣科式的传授),那么即使包罗了再多的定理和公式,可能仍免不了沦为一堆僵死的教条,难以发挥作用;而掌握了数学的思想方法和精神实质,就可以由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论,显示出无穷无尽的威力。许多在实际工作中成功地应用了数学、并取得相当突出成绩的数学系毕业生都有这样的体会:在工作中真正需要用到的具体的数学分支学科,具体的数学定理、公式和结论,其实并不很多;学校里学过的一大堆数学知识很多都似乎没有派上什么用处,有的甚至已经淡忘,但所受过的数学训练,所领会的数学思想和精神,却无时无刻不在发挥着积极的作用,成为取得成功的最重要的因素。所以,如果就事论事,仅仅将数学作为知识来学习,而忽略了数学思想对学生的熏陶以及学生数学素养的提高,就不免是“入宝山而空回”了。因而,数学的教学可以也必须贯彻素质教育的精神,使学生不仅知道许多重要的数学概念、方法和结论,而且领会到数学的精神实质和思想方法,掌握数学这门学科的精髓,使数学成为他们手中得心应手的武器,终生受用不尽。

这应该是数学教学努力追求的目标,也是衡量数学教学的成败与优劣的最根本的依据。那么,究竟要通过严格的数学训练使学生具备哪些应有的素质,而这些素质的培养又是其他课程的学习和其他方面的实践所无法代替或难以达到的呢?除了数学本身所要求的推理及解题能力外,看来还应该特别注重以下一些方面:1.使学生树立明确的数量观念,“胸中有数”,认真地注意事物的数量方面及其变化规律。2.提高学生的逻辑思维能力,使他们思路清晰、条理分明,有条不紊地处理头绪纷繁的各项工作。3.要求每一个正负号、每一个小数点都不能含糊敷衍,应该使学生养成认真细致、一丝不苟的作风和习惯。4.通过追求最有用(广泛)的结论、最低的条件(代价)以及最简洁的证明,使学生形成精益求精的风格,立求尽善尽美。5.使学生知道数学概念、方法、理论的产生和发展的渊源和过程,了解和领会由实际需要出发,到建立数学模型,再到解决实际问题的全过程,提高他们运用数学知识处理现实世界中各种复杂问题的意识、信念和能力。6.使学生增强拼搏精神和应变能力,能不断分析矛盾,从一团乱麻的困难局面中理出头绪,最终解决问题。7.调动起学生的探索精神和创造力,使他们更加灵活和主动,在改善所学的数学结论、改进证明的思路和方法、发现不同数学领域或结论之间的内在联系、拓展数学知识的应用范围以及解决现实问题等方面,逐步显露出自己的聪明才智。8.使学生具有某种数学上的直觉和想象力,能够根据所面对问题的本质或特点,八九不离十地估计到可能的结论,为实际的需要提供借鉴。如此等等。这样,第二个问题的答案就十分清楚了。

数学教学的改革之所以势在必行且刻不容缓,就是因为我们目前的数学教学中存在着一些带根本性的缺陷,以致学生在学了如此重要且十分有用的数学以后,却不会应用或无法应用,有些甚至还会觉得毫无用处。从数学教学应该充分体现素质教育的精神来看,我们在数学知识的传授方面,在数学思维的训练方面,在数学素养的培育方面,尚存在着以下一些比较突出的问题,亟需引起重视并进行改革。数学素养不可能凭空出现,而是在数学知识的传授过程中逐步熏陶而成的。任何认为抓素质教育,可以离开或削弱数学知识传授的想法和做法都是错误的。因此,认真进行课程内容和课程体系的改革,在当前显得尤为重要。这方面历来容易发生两种偏向。一种是从实用主义的观点出发,在课程内容的选取及课程的设置上,忘记了数学是一个有机的整体,只想教给学生“有用”的东西,把数学知识的体系搞得支离破碎,结果学生学得似是而非,知其然而不知其所以然,根本得不到严格的训练。这一现象在“文革”中曾经登峰造极,现在也不能说已经绝迹:以减轻学生负担为名,把“删繁(琐)就简(洁)”篡改为“删(困)难就简(单)”,不负责任地把一些重要但比较困难的内容或课程,或只讲结论不加证明,或轻描谈写一笔带过,或干脆一刀砍去,就是一种典型的表现。另一种偏向则是在内容上不分轻重主次,事无巨细面面俱到,包括一些在学通了主干课程以后可以很容易地学会、甚至走上工作岗位以后有需要时自己可以推导出来的东西,也专门开设课程大讲特讲,这样做,看似对学生负责,实际上往往抓了芝麻、丢了西瓜,使学生如堕烟海,反而连最基本的内容都搞不清楚。

“少而精”的观点,抓住精华、学得精通的原则,讲了很多年,真正加以贯彻,看来还实非一件易事。至于在数学的教学内容和课程体系的改革中,适应科技高速发展的形势,体现现代化的精神,出精品、现特色,更需要遵循数学学科的特点和人们的认识规律,作出不懈的努力。要重视对学生的数学训练的严格要求。大学与中、小学在这方面的情况看来有很大的差别。中、小学作业负担过重的情况比较突出,不少学生已经被训练成了解题机器。但在相当多的一部分大学里,普遍的情况是学生的训练强度不大,要求很不到位。一门数学课程,往往只象征性地布置为数不多甚至很少的习题,学生蜻蜓点水式地做几道题目交差,教师对习题的批改及指导也很少严格要求,难以使学生真正将课堂上讲授的知识学到手,更谈不上启发进一步的思考和钻研了。多讲不如多练。只有对基本的、重要的内容进行认真而不含糊的训练,才能将数学的功底打扎实,也才能真正领会数学的精神实质,有效地提高学生的数学素养。在当前的情况下,大力加强大学数学教学中的严格训练,包括抓紧习题课、课外作业及实践以及课外阅读与思考等环节,就可以将数学课程的学习质量提高一个档次,这应该引起足够的重视。

数学的教学不能和其他科学以及整个外部世界隔离开来,只是一个劲地在数学内部的概念、方法和理论中打圈子,这不利于学生了解数学的概念、方法和理论的来龙去脉,不利于启发学生自觉运用数学工具来解决各种各样的现实问题,不利于提高学生的数学素养。长期以来,数学课程往往自成体系,处于自我封闭的状态,而对学数学的学生开设的物理、力学等课程,效果亦不理想,二者远未有机地结合起来,起到相互促进的作用。近年来,强调了数学建模的重要性,开设了数学建模乃至数学实验的课程,并举办了数学建模竞赛,使这方面的情况起了有益的变化。这是数学教学改革的一个成功的尝试,应该坚持发扬光大。但到目前为止,数学建模课程还是外加到整个的数学教学计划中去的,一些主干数学课程的教学内容和方法尚未或很少体现数学建模的思想,面貌大体依旧。这种“两张皮”的状况尽管在一个过渡时期内无可避免,但毕竟是一种“初级阶段”的表现,不仅增加学生负担,而且可能事倍功半。在开设与改进数学建模课程的基础上,逐步将数学建模的精神、内涵及方法有机地体现到一些重要的数学课程之中,并在条件成熟时最终取消专门开设的数学建模类课程,或将其变为课外训练的辅助环节,应该是一个努力的方向。

数学科学在本质上是革命的,是不断创新、发展的,可是,传统的数学教学过程与这种创新和发展的实际进程却不免背道而驰。从一些基本的概念或定义出发,以简练的方式合乎逻辑地推演出所要求的结论,固然可以使学生在较短的时间内按部就班地学到尽可能多的内容,并体会到一种丝丝入扣、天衣无缝的美感;但是,过分地强调这一点,就可能使学生误认为数学这样完美无缺、无懈可击是与生俱来、天经地义的,从而思想处于一种僵化的状态,在生动活泼的现实世界面前手足无措、一筹莫展。其实,现在看来美不胜收的一些重要的数学理论和方法,在一开始却往往是混乱粗糙、难以理解甚至不可思议的,但由于蕴含着创造性的思想,却又最富有生命力和发展前途,经过许多乃至几代数学家的努力,有时甚至经历长期的激烈论争,才逐步去粗取精、去伪存真,使局势趋于明朗,最终出现了现在为大家公认、甚至写进教科书里的系统的理论。要培养学生的创新精神,就要使他们了解数学的创造过程,有机地结合数学内容的讲授介绍一些数学的思想方法及发展历史。

这不仅可以提高学生学习的兴趣,更重要的是可以提高学生的数学素养和鉴赏力,这应该是数学训练中不可缺少的重要环节。遗憾的是,由于单纯地注重知识的传授,目前在数学教学中对此远未引起足够的重视。这样,培养创新精神,加强素质教育,仍不免是一句空话。当然,创新能力的培养,创新意识的加强,更重要地还是要通过实践。在数学教学过程中,要主动采取一些措施,鼓励并推动学生解决一些理论或实际的问题。这些问题没有现成的答案,没有固定的方法,没有指定的参考书,没有规定的数学工具,甚至也没有成型的数学问题。主要靠学生独立思考、反复钻研并相互切磋,去形成相应的数学问题,进而分析问题的特点,寻求解决问题的方法,得到有关的结论,并判断结论与方法的对错与优劣。总之,要让学生自己亲口尝一尝梨子的滋味,亲身去体验一下数学的创造过程,取得在课堂里和书本上所无法代替的宝贵经验。目前在全国范围开展的数学建模竞赛的一些做法,可以说是一个有益的尝试和借鉴。