题目：208.投注彩票问题

从彩票部门的角度出发，一个摸彩方案的优劣应该取决于方案带来利润的多少，彩票部门所获利润在什么情况下会达到最大呢？一般在保证总奖金比例不超过销售总额的50% 的情况下，卖出的彩票越多越好，我们不妨取彩票总销售额期望值作为方案的评价标准：如果总奖金比例超过销售总额的 50% ，那么这个方案就是不合理的，如果总奖金比例不超过销售总额的 50% ，那么在此前提下，彩票总销售额期望值越高，方案就越好。

彩票是一种带有博弈性质的游戏，彩民下注的多少取决于方案对他们的吸引力大小，而方案的吸引力又由中奖的概率和中奖金额共同决定，而且同样的方案对不同类型的彩民产生的吸引力是不一样的。常见的奖项设置中有：

“传统型”有一种：

“乐透型”有三种：

根据奖项设置我们可以计算出彩民获各项奖的概率（见附表二，附表三），题给表中并未反映方案对彩民吸引力的影响，因此我们必须首先根据实际情况构造彩票的吸引力函数，作为联系方案与销售额的桥梁，由彩票吸引力转换到彩票的销售额期望值，这才是最终的评价标准。

①    彩民的分类

身边芸芸彩民，投注心态和选号方式五花八门，但总的说来可以归纳为：第一种（疯狂型）：买彩票对他们来说是真正意义上的“赌博”，只有一个目的——中大奖！因此下注时不仅选号谨慎，而且金额巨大，约占彩民总数的 15%因此下注时不仅选号谨慎，而且金额巨大，约占彩民总数的 15%因此下注时不仅选号谨慎，而且金额巨大，约占彩民总数的 15%；第二种（理智型）：他们购买任何一种彩票都要经过不断推敲筛选，下注的金额不一定很大，但中奖的机会却比其他几类彩民多，中的奖项比一般彩民高，偏重大奖，约占彩民总数的 45% ；第三种（平庸型）：他们买彩票时既想中大奖，同时又认为中大奖的机会寥寥，还是中末奖机会大得多，因此只要有奖就行，每次下注的金额不大，约占彩民总数的 20% ；第四种（奉献型）：他们购买彩票是为社会的福利事业或向中国体育的腾飞贡献一份力量，至于中奖与否倒不是要首先考虑的，因此他们的投注基本上没有太大波动，约占彩民总数的 20% 。

②    评价函数的建立

我们先考虑某一期彩票销售情况。

•吸引力函数

如果彩民不分种类，各奖项奖金期望值之和即一个彩民投一注所获奖金期望值就能反映出方案的吸引力，但实际上方案变化所引起各种彩民的反映是不同的，根据以上分析，不同的彩民关心不同的奖项设置，因此应该在中第 i 等奖项的奖金期望值上乘以这个奖项对第种彩民的吸引力占总吸引力的权重，然后在对所有奖项求和，如果方案中还给一等奖设立了保底金额（=60 万元），设它在第1种彩民的吸引力中所占的权重为， 再加上以此作为方案对第1种彩民的吸引力值。

第一种彩民的吸引力权值向量，根据前面关于彩民的分析确定如下：第一种（疯狂型）：只看头奖；第二种（理智型）：偏重于高项奖，就选用抛物线来拟合它，最低点表示第 4 等奖的吸引力；第三种（平庸型）：偏重于低项奖，为简便起见，直接将上面的图象关于 y 轴翻转。

•销售额期望函数

各种奖项对第1类彩民的影响程度在第1类彩民的吸引力权值向量中已经得到体现，因此各种彩民的总销售额关于吸引力值的函数可以直接取为线性函数，而奉献型彩民的投注为常数，则所有彩民的总销售额期望值