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论文摘要：传统的公共品需求理论并没有特别考虑公共品个人需求曲线的加总。事实上，公共品需求曲线的加总与私人品个人需求曲线的加总不同，并且要复杂得多。在充分考虑公共品的性质后，可以运用萨缪尔森方法、中间投票者个人需求函数替代法以及社会效用函数法来加总公共品个人需求曲线。
论文关键词：公共品,私人品,需求曲线,需求理论
由于在市场上作出决策时考虑的是整个市场的需求曲线，而不可能是某个消费者的需求曲线，因此需求加总是一个在理论和实践上我们都不能忽略的问题，公共品需求曲线的加总也是如此。然而由于种种原因，大家往往认为公共品需求曲线的加总和私人品需求曲线的加总大致相同，进而并不加以特别注意。事实果真如此吗？本文将在假定推导出了公共品个人需求曲线的前提下，对比私人品个人需求曲线的相关研究，就如何加总他们的需求曲线获得公共品的市场需求曲线展开详细讨论，以期能够全面、系统地把握这个问题。
一、私人品个人需求曲线的加总
虽然现实中，绝大多数私人品的消费者往往人数众多，在技术上加总所有人的需求曲线是不可能的，但我们仍然可以把整个市场抽象为只有两个消费者参与的市场，而且还可以假定该市场只有两种私人品可供消费者选择，这样我们的研究将大大简化。一般的，如果市场上只有两种私人品1和2，且x（P，P，m）表示消费者i对私人品1的需求函数，那么整个市场对私人品1的需求函数就为x（P，P，m,...m）=∑x（P，P，m）。如果此时市场上只有两个消费者，那么整个市场对私人品1的需求函数就为x（P，P，m,m）=x（P，P，m）+x（P，P，m）。进一步的分析认为，如果所有消费者的需求曲线是线性的，那么市场需求曲线就是个人需求曲线的水平加总，代表了相同价格下消费量的分摊。这一过程，我们可以用图1表示出来：
私人品的社会总需求等于每个人需求之和，在需求曲线上表现为个人需求曲线的横向相加。其数学表达式如下：
其中，X表示第k种私人品的社会总需求，
表示第i个人对私人品k的个人需求。两个人的私人品总需求等于每个人需求的横向相加。
二、公共品个人需求曲线的加总和私人品个人需求曲线加总的异同点
公共品个人需求曲线的加总和私人品个人需求曲线加总既有相同之处，又有不同的地方。
（一）相同之处
1、模型的假设基本相同
一般的，私人品个人需求曲线加总模型假设的是两个消费者面对两种私人品时的情况，公共品需求曲线加总同样如此，只是商品的组合由两种私人品变为了两种公共品。
2、技术上的可加性
虽然现实生活中，在技术上加总所有人的需求曲线是不可能的，但我们一般都没有考虑技术限制。特别地，我们还可以详细研究两个消费者需求曲线为线性时的情况。
（二）不同之处
由于公共品的性质和私人品存在显著差异，所以二者个人需求曲线的加总在程序上和方向上也就相差甚远。
1、加总程序上的不同
由于私人品市场消费者的行为属于分散决策，在过剩经济条件下，他们个人的需求无论自觉与否，都会构成社会需求的一部分。而公共品消费者的行为属于集中决策，他们对某种公共品的需求还必须经历公共选择程序才有可能转化为市场需求的一部分。而在这个程序中，部分消费者的偏好将不会被包含在社会偏好之中。
2、加总方向上的不同
由于纯公共品具有非排他性和非竞争性的性质，其消费者消费的数量和质量不会因为人数的增加而改变，因此他们面对的是既定的公共品消费数量，需要解决的是价格分摊，这一点在技术上就表现为需求曲线在纵向上的加总，代表的是相同消费量下的价格分摊，刚好和私人品需求曲线的横向加总方向相反。
三、公共选择对公共品个人需求曲线加总的影响
研究集中决策的公共品个人需求曲线的加总，除了技术层面的问题以外，在现实的政治程序中，还必须考虑如何从所有人的偏好顺序中推断出社会偏好顺序，构造出社会福利函数（社会福利函数是以个人价值判断为基础来表达社会偏好的一种方式）。这个程序我们通常称之为公共选择，显然它将在很大程度上影响公共品需求曲线的加总。
作为现实政治生活中的公共选择机制，必然会把一部分投票者（规范分析是中间投票者，但也可能是某个利益集团等其他情况）的个人偏好转化为社会偏好的一部分，其余投票者则必须接受对自己不利的“多数人暴政”的出现。这样，公共选择机制就像体育比赛中的“淘汰”机制一样，把那些偏好的提案不是最终政治均衡的投票者淘汰出局。接下来，我们在技术上加总公共品需求曲线，只需考虑如何将公共选择程序中剩下的“幸存者”的个人需求曲线加总为社会需求曲线。
四、公共品需求曲线技术上的加总
在考虑公共选择的基础上，如何加总公共品消费者的个人需求曲线而得到社会需求曲线，在技术上我们可以从以下几个方面入手。一、可以将得到的公共品消费者的个人需求曲线根据公共品的性质直接加总，这是萨缪尔森公共品的局部均衡模型中的内容，只是萨缪尔森认为政府通过询问就可以得到公共品的个人需求曲线缺乏一定的现实基础。二、既然在多数票通过规则下，中间投票者的偏好往往是最终的政治均衡，那么在一定程度上我们确信可以用中间投票者的需求曲线来估计公共品的社会需求曲线。三、我们还可以先加总某种公共品消费者的个人效用函数得到公共品的社会效用函数，进而我们可以描绘出公共品的社会无差异曲线，然后利用中间投票者的预算线来估计社会预算线，最终得到公共品价格（税价）和需求量之间的函数关系，得到社会需求曲线。
（一）萨缪尔森方法
如何将公共品消费者的个人需求曲线加总为市场需求曲线，在技术上从来都是一个难题。萨缪尔森在公共品的局部均衡模型中，认为纯公共品需求曲线的加总为个人需求曲线在纵向上的相加，代表了同消费量上的成本分摊。如图2。
纯公共品的社会总需求等于每个人的需求（消费）之和，在需求曲线上表现为个人需求曲线纵向相加。其数学表达式如下：
其中，G表示第k种纯公共品的社会总需求，
表示第i个人对第k种纯公共品的需求。两个人的纯公共品的社会总需求等于每个人需求的纵向相加。
（二）中间投票者个人需求函数替代法
某些公共品其受益范围在空间上具有有限性，我们把这类空间有限性公共品（Spatiallylimitedpublicgoods）定义为地方公共品。显然，在不同的地理范围内，地方公共品的供给水平可能是不同的。公共品供给水平的这种空间可变性为经济学家们估计这些物品的需求函数提供了机会。全国性公共品意味着其供给水平在全国都相同，那么其需求方程中的因变量不具有可变性，因此无法估计这些物品的需求函数。（这些物品的提供水平在不同时间或不同国家可能不一样，因而可以进行时间序列分析和国家间横截面分析，但要控制其中的文化差异、制度差别及其他外生因素是十分困难的。）所以我们要研究的公共品需求曲线的加总，其范围必须控制在地方公共品范围内。
同时，中间投票者定理告诉我们，在多数票通过规则下，中间投票者的偏好会使其他任何供给水平成为泡影，而希望再次当选的政府都会努力去迎合中间投票者的偏好。因此每一地区某种公共品的供给水平都反映了中间投票者的效用最大化水平，我们就可以用某种地方公共品的中间投票者的需求函数来估计该公共品的社会需求函数，问题就转化为估计中间投票者的需求函数。
假定1：政治程序属于需求驱动型，即中间投票者的需求决定公共品的供给。假定2：中间投票者能正确认识他的预算约束。假定3：公共支出是测量公共品产出的良好替代标准。假定4：地方政府只提供一种公共品。假定5：不存在政府间的转移支付。那么某种地方公共品的社会需求方程可以表示如下：
D=D(y,p,z)（1）
特别的，如果像唐斯—霍特林模型假设那样，把所有的政治议案都排列在单一维度上，很多研究已经把政府支出决策模型化为中间投票者的私人选择，这样中间投票者关于某种公共品的需求方程还可以变为以下形式：
㏑G=a+
㏑p+
㏑y+
㏑z+
(2)
其中D为中间投票者的需求；G为政府支出；y为中间投票者的收入；p为中间投票者为一单位公共品支付的价格；z为反映诸如本地区社会经济状况、政治构成的变量向量。然后，使用有关某种类型地方支出的横截面资料，检验方程（2），就可以估计出某种公共品的需求曲线。
在实际估计这个需求方程时，我们首先需要确定的是“谁是中间投票者？”，然后再将以上假定逐渐放松，一步步让这个方程更加符合现实情况。
（三）社会效用函数法
在推导某种公共品的社会需求函数时，还有一种方法值得考虑。这种方法的思路是，先加总某种公共品消费者的个人效用函数得到社会效用函数（这样，我们就可以描绘出这种公共品的社会无差异曲线），然后假定这些消费者对该种公共品具有政治程序上的选择权，这样我们就可以用这些消费者中的中间投票者的预算约束或者地方政府的预算约束来估计该种公共品的社会预算约束，这两个方面的工作做完以后，该种公共品的社会需求函数就转化成了一个简单的数学问题。
1、社会效用函数的推导
如果，我们仅仅要构建某种公共品的社会效用函数，那么就可以假定这个社会共有n个成员，并且每个人的效用都是关于私人品和公共品消费的函数（也就是说，对于任一成员i，有U=U(x,G)。其中G表示该种公共品的消费量，事实上也是这种公共品的提供量；x表示成员i为消费的私人品；U为成员i消费这种公共品时所获得的效用），并且其他所有因素都是社会成员个人效用和社会效用的外生变量，那么仿照社会福利函数的形式就可以得到某种公共品的社会效用函数：
W=W(U,U,U,……,U)=W(U(x,G),U(x,G),U(x,G),……,U(x,G))
如果这种效用函数是可加的边沁主义形式，则有：
W=W(U,U,U,……,U)=W(U(x,G),U(x,G),U(x,G),……,U(x,G))=U(x,G)+U(x,G)+U(x,G)+……+U(x,G)
同时，为了进一步简化我们的运算和推导，我们还可以用某个中间投票者的效用乘以社会成员的总数来代替社会效用函数，则有：
W=W(U,U,U,……,U)=W(U(x,G),U(x,G),U(x,G),……,U(x,G))=U(x,G)+U(x,G)+U(x,G)+……+U(x,G)=nU(x,G)=nU(x,G)
如果这种效用函数是可乘的纳什形式，则有：
W=W(U,U,U,……,U)=W(U(x,G),U(x,G),U(x,G),……,U(x,G))=U(x,G)·U(x,G)·U(x,G)·……·U(x,G)
2、社会预算线的推导
要描绘出某种公共品的社会需求曲线，在社会效用函数法下，推导出了社会效用函数后，下一步就应该考虑如何构建这种公共品的社会预算线。
（1）利用中间投票者的预算约束来推导社会预算线
在这里我们假定中间投票者的确认不是难题，而且中间投票者刚好就是中间收入者，这一地方共有n个社会成员，地方税采取比例所得税制，在不考虑转移支付条件下有：
y=x+t=x+(sp)G（1）
其中i为某一中间投票者；x为基准私人品；y为收入（根据上文的讨论，可以用某一地区的平均收入代替）；t为中间投票者向地方政府缴纳的税款。
这时考虑整个社会n个成员后，可以得到这种公共品的社会预算线：
∑y=∑x+∑t=∑x+∑(sp)G=y=x+pG（2）
其中y为整个社会成员的总收入；x为整个社会的基准私人品；G为公共品。
再粗略一点，我们还可以把整个社会关于某种公共品的预算线看成这一中间投票者预算约束的n倍，于是有：
y=ny=nx+nt=nx+n(sp)G（3）
考虑一次总付性转移支付后，（1）、（2）、（3）式分别变为：
y=x+t=x+s（pG－l）（4）
∑y=∑x+∑t=∑x+∑s（pG－l）=y=x+pG－l（5）
y=ny=nx+nt=nx+ns（pG－l）（6）
其中l为一次总付性转移支付的数额；其他字母的含义相同。
考虑配套转移支付后，（1）、（2）、（3）式分别变为：
y=x+t=x+(1－m)（sp）G（7）
∑y=∑x+∑t=∑x+∑(1－m)（spG）=y=x+pG－mpG（8）
y=ny=nx+nt=nx+n(1－m)（spG）（9）
其中m为上级政府在实施这种转移支付时所支付的比例；M为上级政府的支付总额；其他字母的含义相同。
考虑限额配套转移支付后，（1）、（2）、（3）式分别变为（由于此时，中间投票者的预算线分为两段，所以就有六个相应的公式与之对应）：
y=x+t=x+(1－m)（sp）G（G≤G）（10）
y=x+t=x+（sp）G－m（sp）G（G＞G）（11）
∑y=∑x+∑t=∑x+∑(1－m)（spG）=y=x+pG－mpG（G≤G）（12）
∑y=∑x+∑t=∑x+∑[（sp）G－m（sp）G]=y=x+pG－mpG（G＞G）（13）
y=ny=nx+nt=nx+n(1－m)（sp）G（G≤G）（14）
y=ny=nx+nt=nx+n（sp）G－nm（sp）G（G＞G）（15）
其中，G表示：配套转移支付的获取条件是公共品的提供水平未达到G=G，如果达到了这一水平将不再享受转移支付；其他字母的含义不变。囿于篇幅，此处不再考虑税收资本化的影响和“粘蝇纸效应”。
（2）利用地方政府的预算线来推导社会预算线
除了可以利用中间投票者的预算约束来估计某种公共品的社会预算约束外，地方政府的预算线有时候就可以近似地看作是某种公共品的社会预算线，特别是这种公共品完全由政府提供而不需要社会成员为此直接支付成本时，这应当是一个合理的结论。
不妨假定，地方政府只提供一种公共品，在不考虑转移支付条件下，有：
pG=t(16)
其中，p代表每单位公共品的价格（假定是不变的）；t代表税收总额。
考虑一次总付性转移支付后，有：
pG=t+l（17）
其中l为一次总付性转移支付的数额，其他字母的含义不变。
考虑配套转移支付后，有：
(1－m)pG=t（18）
其中m为上级政府在实施这种转移支付时所支付的比例；其他字母的含义不变。
考虑限额配套转移支付后有：
(1－m)pG=t（G≤G）（19）
pG=t+mpG（G＞G）（20）
3、公共品社会需求曲线的推导
在社会偏好法下，前两个步骤分别得到了某种公共品的社会效用函数（假定这种效用函数具有可加的古典主义形式）和社会预算线，那么这种公共品的社会需求曲线就可以转化为以下一些数学问题。
首先，我们的目标函数是要追求社会效用函数的最大化，当利用中间投票者的效用函数来估计社会效用函数，并且这个效用函数符合柯布—道格拉斯形式，问题就可以转化为，求：
maxW=maxW(U,U,U,……,U)=maxW(U(x,G),U(x,G),U(x,G),……,U(x,G))=max[U(x,G)+U(x,G)+U(x,G)+……+U(x,G)]=max[nU(x,G)]=max[nU(x,G)]
（1）当利用中间投票者的预算约束来推导社会预算约束，且不考虑转移支付时，其约束条件为：y=x+pG
或者是：y=ny=nx+nt=nx+n(sp)G
（2）当利用中间投票者的预算约束来推导社会预算约束，且考虑一次总付性转移支付时，其约束条件为：y=x+pG－l
或者是：y=ny=nx+nt=nx+ns（pG－l）
（3）当利用中间投票者的预算约束来推导社会预算约束，且考虑配套转移支付时，其约束条件为：y=x+pG－mpG
或者是：y=ny=nx+nt=nx+n(1－m)（spG）
（4）当利用中间投票者的预算约束来推导社会预算约束，且考虑限额配套转移支付时，其约束条件为：
y=x+pG－mpG（G≤G）
y=x+pG－mpG（G＞G）
或者是：y=ny=nx+nt=nx+n(1－m)（sp）G（G≤G）
y=ny=nx+nt=nx+n（sp）G－nm（sp）G（G＞G）
（5）当利用地方政府的预算约束来推导社会预算约束，且不考虑转移支付时，其约束条件为：pG=t
（6）当利用地方政府的预算约束来推导社会预算约束，且考虑一次总付性转移支付时，其约束条件为：
pG=t+l
（7）当利用地方政府的预算约束来推导社会预算约束，且考虑配套转移支付时，其约束条件为：(1－m)pG=t
（8）当利用地方政府的预算约束来推导社会预算约束，且考虑限额配套转移支付时，其约束条件为：
(1－m)pG=t（G≤G）
pG=t+mpG（G＞G）
然后，再就各种情况分别构建拉格朗日函数，然后得出最优化的一阶条件，就可以得到某种公共品的社会需求曲线。
参考文献
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